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《均值不等式最值恒成立》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、均值不等式一、重点考点1.不等式成立问题（1）恒成立问题①若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上②若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上（2）能成立问题①若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；②若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.（3）恰成立问题①若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为；②若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为.2.不等式最值问题常用方法：配凑法（凑系数，凑项，分离）、整体代换、换元、取平方、倒数二、典型例题（一）不等式恒成立常规处理方式：常应用函数方程思想
2、和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法例1、（1）设实数满足，当时，的取值范围是________8（2）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围________（3）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是_____（4）若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.(5)已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围________（二）最值问题1.配凑①凑系数例2、当时，求的最大值。解：当且仅当，即x＝2时取等号所以当x＝2时，的最大值为8变式：（1）已知0＜x＜，求函
3、数y=x(1-3x)的最大值;（2）求函数y=x+的值域.思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（）8（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0与x＜0讨论(-∞,-2］∪［2,+∞)②凑项例3、已知，求函数的最大值。解：∵∴当且仅当，即时等号成立③分离例4、求的值域。解：当，即时（当且仅当x＝1时取“＝”号）。当，即时（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。∴的值域为。变式:求函数y=的最小值.（当x=0时，函数取得最小值3）评注：分式函数求最值，通常
4、化成8，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。2.整体代换例5、已知，求的最小值。解1：不妨将乘以1，而1用a＋2b代换。当且仅当时取等号，由解法2：将分子中的1用代换。变式：已知x＞0,y＞0，且+=1，求x+y的最小值.（3种方法，x+y取得最小值16）3.换元例6、求函数的最大值。解：变量代换，令，则当t＝0时，y＝0当时，，当且仅当，即时取等号故4.取平方例7、求函数的最大值。解：注意到的和为定值8又，所以，当且仅当，即时取等号故。5.取倒数例8、已知，求函数的最小值. 解由，得，. 取倒数，得
5、当且仅当，即时，取等号.故的最小值是.注：我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。例9、求f(x)=3++的最大值（0＜x＜1）.解：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,＜0.∴-＞0.∴(-lgx)+(-)≥2=4.∴lgx+≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3-4=-1.当且仅当lgx=,即x=时取得等号.则有f(x)=3+lgx+(0＜x＜1)的最大值为-1.变式：已知，且满足，求的最大值8 当且仅当，即时，等号成立.所以的最大值是.例10、求函数
6、的最小值。解析：，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最小值是。变式：求下列函数的最大值：①②解析：①，∴，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值是1。②，则，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。,当且仅当，即时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是。例11、若x、y，求的最小值。8解法一：（单调性法）由函数图象及性质知，当时，函数是减函数。解法四：（拆分法），当且仅当时“=”号成立，故此函数最小值是5。三、课后练习1、若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围__（,）2、①若，求的最大值②求函数的最小值53、①
7、求函数的最小值8②已知，且，求的最小值4、当x＞-1时，求f(x)=x+的最小值.【f(x)min=1】85、已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1，x+y的最小值为18，求a,b的值解：x+y=(x+y)()=a++b=10+.∵x,y＞0,a,b＞0，∴x+y≥10+2=18，即=4.又a+b=10，∴或6、当x＜时，求函数y=x+的最大值解：y=（2x-3）++=-（）+，∵当x＜时，3-2x＞0，∴≥=4，当且仅当，即x=-时取等号.于是y≤-4+=，故函数有最大值.7、试分别求：①；②的最大值8、求最小值
8、8
