[精品]构造函数思想在不等式恒成立问题中的应用探讨.doc

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1、构造函数思想在不等式恒成立问题中的应用探讨构造函数思想在不等式恒成立问题中的应用探讨在高中阶段，不论是必修部分，还是选修部分，都有不等式的踪影，恒成立问题史是其屮的一个难点，其考题通常有两种设计方式:一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围•不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何等知识进行了有机的结合，形式灵活、思维性强、具有不同知识点融会贯通的特点.一、与二次函数有关，借助判别式解决问题例1若不等式x2+2(a-2)x-4>0对一切xWR恒成立，求a的取值范围.分析：令f(x)二x2+2(a-2)x-

2、4,由题意，只需令A=4(a-2)2+16<0即可.一般地,我们有：对于二次函数f(x)二ax2+bx+c(aHO,xWR),有(1)f(x)>0对xER恒成立a>0A<0；(2)f(x)<0对xeR恒成立a〈0A<0值得注意的是，上述问题中，对x并无限制，若是对x有限制，就耍转化为根的分布来解决•在此类问题中，往往参数和自变量在不等式的两侧，需进行移项，构造新的函数来解决此类问题.例2设f(x)二x2-2mx+2，当x丘[T,+°°)时，范围.解：设F(x)20恒成立.(x)>0显然成立；充要条件为：-3WmW-2.最值解决问题F恒成立的解得借助函数(1)例解

3、:f(x)三m恒成立，求实数in的取值F(x)二x2-加x+2-m,则当xW[T,+°°)时,当A=4(m-1)(m+2)<0即-2a恒成立a〈f(x)min.3若不等式

4、x+l

5、+1x-21Ma对任意xWR恒成立，求a的范围.可知由题意,只需aW(

6、x+l

7、+

8、x-21)min即可，由绝对值不等式的性质x+l

9、+

10、x-2

11、M

12、(x-1)一(x-2)

13、=3,所以a的取值范围是(―,3],

14、上述问题难度不大，在高考题目中，也有类似借助函数的最值来解决恒成立问题的.例4若x〉0,xx2+3x+lWa恒成立，求&的范围.解：令f(x)二xx2+3x+l,当x〉0时，f(X)等价变形为f(x)二lx+lx+3・由题意，只需(lx+lx+3)max,x+lx+322x・lx+3二5(当且仅当x=l吋等号成立)lx+lx+3W15,a2(lx+lx+3)max二15,综上所述，匹[15,+->)・在上述问题的解决屮，关键是求出所构造函数的最值，有必要在平时的学习中加强最值求法的训练,求最值方法除了借助所学的重要结论和基本初等函数的图象外，利用导数讨论函数的单

15、调性近而求出最值不失为一类重要的方法.三、利用换位思考解决问题处理含参不等式恒成立的某些问题时，不等式中往往有两个变量，告知其中一个变量的范围，求另外一个变量的范围，此吋就需要进行换位思考,把函数看作是告知范围的变量的函数，往往会使问题得到解决.例5若f(x)二x3-2x2+5,当xW[T,1]时，f(x)+tx$0恒成立，求x的范围.分析:题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把x看成常量元，则问题可转化为关于t的一次不等式的恒成立的问题.解：因为f(x)二3x-4x,令f(t)二xt+3x2-4x,则转化为f(t)$0在tw[-1,1]恒成立，由题意，只

16、需f(-1)二3x2-5x$0f(1)二3x2-3x20,解得xe[53,+°°).四、利用数形结合来解不等式基本的解决策略是:(1)f(X)>g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方；(2)函数f(x)〈g(x)函数f(x)图象恒在函数g(X)图象下上方.例6设f(X)二-x2-4x,g(x)二43x+l-a,若恒有f(x)Wg(x)成立，求实数a的取值范围.图2解：在同一直角坐标系中作出f(x)及g(X)的图象，直线的纵距为正，故a>0如图2所示，f(x)的图象是半圆(x+2)2+y2二4(y$0)g(x)的图象是平行的宜线系4x-3xy+3-3a=

17、0.要使f(x)Wg(x)恒成立，则圆心(-2,0)到直线4x-3y+3-3a=0的距离满足d二

18、-8+3-3a

19、522.解得aW-5或a$53(舍去)上述儿类问题的解决,很重要的一点,就是借助构造函数这种方法，从题目的不等关系屮挖掘出我们熟悉的函数，利用函数的相关知识达到解决问题的目的，需要提醒的是，恒成立问题因其覆盖知识点多，但其核心思想还是构造函数，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们在平时的学习屮，重视函数的学习，函数的图象、函数的性质史要了然于胸.