函数思想在解题中的应用.doc

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1、函数思想在解题中的应用　　【摘要】函数对于数学体系来说就像一把钥匙，能够帮助我们打开很多其他问题的大门，函数简单来说就是一种特殊的映射，是一种特殊的对应关系。通过对函数的介绍了解到函数的大致分类，并对其应用做了简单的举例说明。　　【关键词】函数；分类；应用　　前言　　在数学学习中构建起函数思想非常重要，函数就是一种工具，通过一些转换关系可以把很多问题都用函数关系表示，使得问题简单化，从而得到解决。善于运用函数思想能够拓宽解题的思路，帮助我们分析问题，更好的去解决问题。所以要学会用函数思想去思考数学问题。　　1.函数的概述　

2、　1.1什么是函数及函数思想　　函数从其本质上来说是一种对应关系，这种对应关系建立在输入值与输出值之间。从集合的角度来说，就是一个集合里的每一项都能从另一个集合里找到唯一的与之对应项，即两个非空数集上的单值对应，这就体现出了函数的一种特性，一一对应，如图1-1所示。函数输入值所在的集合叫做这个函数的定义域，输出值的集合叫做这个函数的值域。通常函数用f表示。　　A图1-1B　　在我们的数学教材上是这样定义函数的，设x，y是两个变量，当x在某个数集D内取任意一个定值，按照某个确定的对应关系f，y都有唯一的值与x对应，那么我们就

3、说x是自变量，y是变量x的函数。我们通常将y是x的函数记作：y=f，x∈D。这样就体现出了构成函数的三要素，定义域、值域、对应法则。　　在了解什么是函数之后，我们来讨论一下函数思想，函数思想就是一种数学思想，它是一个动态的过程，利用这样的思想我们能够分析和解决许多数学中常见的问题。首先要构建起相应的函数模型，找到它们一一的对应关系，去分析、解决问题。所以说，函数思想在很多时候都能简化我们所遇到的数学问题，我们要学会综合利用函数思想解答问题。　　1.2常见的函数分类及性质　　在解题过程中有很多函数是我们常见的函数，包括反函数

4、，隐函数，多元函数，二次函数、一次函数、三角函数。　　在解题中我们经常会用到函数的性质，包括函数的有界性、函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的连续性、函数的凹凸性。　　2.函数思想在解题中的应用　　2.1利用函数图像解决问题　　常用的函数图像变换有：平移变换、对称变换、翻折变换。　　举例说明：若f的图象过点，则f-1的图象过____点，f的图象过____点，f-1的图象过____点。　　分析：由于f的图象与f-1的图象关于直线y=x对称，所以f-1的图象过点。　　f的图象是由f的图象向左平移一个单位得到，而f的

5、图象过点，所以f的图象过点。f-1的图象是由f-1的图象向左平移一个单位得到，而f-1的图象过点，所以f-1图象过点。　　这道题就是通过平移变换的方法快速找到答案。　　2.2利用函数解决数列问题　　首先对于什么是数列做一个大概的介绍，数列就是按一定次序排列的一列数。数列是由项构成的，项就是数列中的每一个数。在一个数列中，排在第一位的叫做数列的第一项，以此类推，排在第n位的叫这个数列的第n项。在解决数列的相关问题时候，我们常常采用函数而思维方法，对数列进行分析。　　2.3利用函数解决解析几何的问题　　解析几何就是曲线关系，曲

6、线方程中有两个相关变量x和y，所以可以构造出函数关系，是问题变得简单。　　举例说明：过曲线M的右焦点F作直线l，交M于A、B，求AB的最值　　所以，函数思想是解决解析几何问题最快速最有效的方法，而且能够保证较高的正确率。　　2.4应用函数性质求解含参方程　　举例说明：已知P是圆x+y=1上任意一点，点P关于点A的对称点为Q，点P绕圆心O逆时针旋转900到达R点，问当P点在圆上哪个位置时，线段QR的长度的最大值与最小值各是多少？　　解析：设圆x2+y2=1的参数方程为：x=cosθy=sinθ各点参数坐标如图所示则RQ2=2

7、+2=16+1+1-8cosθ+8sinθ-2　　cosθsinθ+2sinθcosθ=18+=18+8sin　　∵O≤θ≤2π时sin=1　　∴

8、RQ

9、max=4此时Pθ-=θ=时sin=-1　　∴

10、RQ

11、min=4此时P　　要用参数方程来解决这道题目，首先也是要正确地确定参数，并且把直角坐标系中所有点的坐标都用同一个参数准确地表示出来，先利用两点间的距离公式给出长度的参数表示，并根据参数的范围，运用三角函数的有关知识，最后通过代数运算来求得长度的最值。　　结束语　　综上所述，函数是一门独立的数学知识，同时又是数学领域中

12、一项有效的工具，在解决很多问题的时候都能够用到。所以建立起函数思想十分重要，构建起来函数的框架，对其的应用熟练掌握，并且学会扩展思维，能够做到举一反三，这样才能利用好函数思想，帮助我们解决各类能够转换为函数关系的问题。　　【