函数思想在解题中的应用

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1、函数思想在解题中的应用江苏省兴化市茅山中学金春林函数思想是一种重要的数学思想方法。函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题。因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系。首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径。其次数量关系是数学中的一种基本关系。现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性。因此，如何从多变元的数量关系中选定合适的

2、主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。另外，根据需要，构造辅助函数是高等数学中一种常用的方法，这种方法也渗透到中学数学中。下面我们举例说明函数思想在解题中的应用。例1.方程x2－(2－a)x+(5－a)=0的两个根都大于2，求实数a的取值范围。略解：设f(x)=x2－(2－a)x+(5－a)，则方程的两根都大于2的充要条件是解之得－5

3、p,）,(q,),(p+q,)共线，则有化简即得Sp+q=－(p+q)。例3已知方程

4、x

5、=ax+1有一个负根且没有正根，则a的取值范围为_______xy1-11-1O略解：将a看作是一个变量，由已知方程得　作出它的图象如右图，由图象直接可得a≥1例4设不等式2x－1>m(x2－1)对满足

6、m

7、≤2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围。略解：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式进行分类讨论。然而，若变换一个角度,设m为主元，记f(m)=m(x2－1)－(2x－1),则问题转化为一次函

8、数（常数函数）f(m)的值在区间[－2，2]内恒为负时系数x应满足的条件。解不等式组即可轻松地求得x的取值范围是区间例5求自然数a的最值，使不等式对一切自然数n都成立。略解：令对任意的n∈N∴f(n)在N上是增函数。又f(1)=，对一切自然数n，f(n)>2a－5都成立的充要条件是>2a－5所以a<，故所求自然数a的最大值是3。例6设a,b∈R，求证：略证：根据不等式两边“同形”，可构造函数f(x)=∵0≤

9、a+b

10、≤

11、a

12、+

13、b

14、∴只需证明f(x)当x≥0时是增函数设0≤x1

15、)=∴f(x)是[0,+∞]上的增函数。从而当ab≥0时，0≤

16、a+b

17、=

18、a

19、+

20、b

21、,得当ab<0时，0≤

22、a+b

23、<

24、a

25、+

26、b

27、,得综上可知，a,b∈R有从以上几例的解答中，我们已初步看到了函数思想的应用，函数思想的应用想当广泛，但这些方面都涉及到最基础知识，只要在学习中扎扎实实地掌握基础知识，学会全面地分析问题，并注意在解题中不断总结经验，就一定会真正掌握运用函数思想解题的思路和方法，从而收到事半功倍的效果。