数学思想在函数问题中的应用

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1、数学思想在函数问题中的应用管亚琴函数是贯穿中学数学全部内容的主线，又把初等数学与高等数学链接了起来，是承上启下的重要知识。在上海市的历年高考试题中总是把函数知识作为热点来考查，函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。因此备受命题者的青睐，然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。我们有的学生学习就是机械记忆，机械模仿，机械练习（题海战术）,到最后，花费了大量的时间和精力，而对于函数的学习却仍然不得要领。对于函数知识

2、的学习如果能破除题海，转变中心即由以基础知识为中心转化到以数学思想为中心的“解题?学习与研究?总结”，那么你的思维就会豁然开朗，信心也会与日俱增。我们在数学学习中经常用到的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转换思想、函数与方程思想等等。下面我们运用数学思想来探讨函数问题的求解。1、数形结合思想例1、已知函数f1(x)=ax和函数f2(x)=，在(0,2］上f1(x)

3、现直观。2、利用分类讨论思想，求函数最小值例2、已知函数y=4x2－4ax+a2－2a+2在区间［0，2］上有最小值3，求实数a的取值范围。分析：要考虑二次函数的对称轴x=与给定区间［0，2］的位置关系。解：f(x)=4(x－)2－2a+2的图象开口向上，对称轴为x=(1)当＞2(如图①)，即a＞4时，最小值为f(2)，令f(2)=3，即4·22－4a·2+a2+2－2a=3，解得a=5±(舍去5－);(2)当∈［0，2］(如图②)，即0≤a≤4时，最小值为f()，令f()=3，即－2a+2=3，解得a=－(舍);(3)当＜0，(如图③)即a＜0时，最小值为f(0)

4、，令f(0)=3，4×02－4a×0+a2－2a+2=3，解得a=1±(舍去a=1+).∴a=5+或a=1－.归纳：本题考查了二次函数性质、图象法及分类讨论的思想；在分类讨论的时候要注意函数的定义域，要考虑对称轴是否在函数所给的定义域之内。3、利用转化思想，变换角度例3、　若对任意的ａ，函数f(x)=x2+(ａ-4)x+4-2ａ的值恒大于零，试求x的取值范围。按常规思维，将函数看成关于x的函数解：f(x)=x2+(ａ-4)x+4-2ａ=()2_由于思维定势的干扰，将函数看成关于x的函数，学生求解不得要领,本题求解就此搁浅。若能利用转化思想，变换角度，则求解过程简便

5、：解法一：变换角度，将函数看成关于ａ的函数令g(a)=(x-2)a+x2-4x+4，ａ，则有g(-1)>0且g(1)>0x2-5x+6>0且x2-3x+2>0解得x>3或x<1解法二：变换角度，将参数ａ分离(x-2)ａ+(x-2)2>0对ａ恒成立1）当x-2>0即x>2时得ａ>2-xx>2-ａx>32）当x-2=0即x=2时等式不成立3）当x-2<0即x<2时得ａ<2-xx<2-ａx<1解得x>3或x<1。利用转化思想,用变量替换(换元)求函数最值例4、求函数的值域。解：易知所给函数的定义域为。令，原函数可变为：　，故，有　，　即。所求之值域为。　　本例若用判别式法

6、，则变形的等价性是非常困难的，若表达式里含有根式的函数的值域，利用判别式来求往往因变形易造成不等价而失误。4、函数与方程思想例5、（2004年高考上海卷）已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)=f1(x)+f2(x).(1)求函数f(x)的表达式；(2)证明:当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.解：(1)由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1,∴f1(x)=x2.设f2(x)=(k>0),它的图象与直线y=x的交点分别为A(,)，B(

7、－,－)由=8,得k=8,.∴f2(x)=.故f(x)=x2+.(2)证：f(x)=f(a),得x2+=a2+,即=－x2+a2+在同一坐标系内作出f2(x)=和f3(x)=－x2+a2+的大致图象,其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线,f3(x)与的图象是以(0,a2+)为顶点,开口向下的抛物线.因此,f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.再考察双曲线与抛物线在第一象限的部分当x=2时，f2(2)=4,f3(2)=－4+a2+当a>3时,.f3(2)－f2(2)=a2+－8>0,∴当a