函数和方程思想在数学解题中应用

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1、函数和方程思想在数学解题中应用函数与方程的思想是中学数学的基本思想，是高中数学的一条主线，也是历年高考的重点•函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，函数思想使常量数学进入了变量数学，即用函数的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像和性质去解决问题；方程思想就是分析数学中变量间的等量关系，建立方程或方程组，运用方程的性质去解决问题.对于函数y=f(x),可转化到二元一次方程y-f(x)=0.如解方程f(x)=0求函数y=f(x)的零点.因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法去解决；反之，许多有关

2、函数的问题也可用方程的方法去解决.函数与方程思想在解题中应用广泛：如函数与方程两者之间的相互转化，在集合、导数与不等式中，在数列、三角函数与平面向量中，在解析几何、立体几何中都可以充分体现，本文就它在数学解题中的应用举例分析，供同学们参考一、函数与方程两者之间的相互转化例1若方程2a•9sinx+4a•3sinx+a-8=0有解，则a的取值范围是•解析令t=3sinx,则tw[,3],方程可转化为：(方法一)记f(t)=2at2+4at+a~8,则原问题转化为f(X)=0在[,3]内有解(即有一解或两解)，留意到f(t)的对称轴t=~l[,3],•*

3、.f(t)=0在[,3]内不可能有两根,/.f(t)二0在],3]有一根只须f()•f(3)WO,即(++a-8)•(18a+12a+a_8)W0，・・・(-8)•(31a-8)WO,・・・WaW.(方法二)由①转化为a=.1£[,3],2(t+1)2-1丘[,31],Aae[,].点评本题先通过换元转化到熟悉的一元二次方程，接下来再转化到二次函数的零点问题，并结合二次函数图像性质，再❷用两种方法计算出答案，前者方程思想，后者函数思想，明显看出利用分离常数求函数值域更为简单，这更加体现函数思想在解题中的实效性.二、函数与方程思想在集合中的应用例2设A

4、二｛x

5、x2+4x二0｝,B二｛x

6、x2+2(a+1)x+a2-l=0｝,若BA,求实数a的取值范围.解析由A二｛x

7、x2+4x二0｝二｛x

8、x二0或x二-4｝二｛0,-4｝・TBA,・：B二或B=｛0｝或B=｛-4｝或B=｛0,-4｝.当B二时，即x2+2(a+1)x+a2-l=0无实根，由△b>c,且f(1)=0,证明f(x)的图像与x轴有2个交点；(2)在(1)的条件下，是否存在mR,使当f(m)=-a成立时，f(m+3)为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；(3)若xl,x2WR,且xlb〉c,.a>0且cO,/.f(x)的图像

9、与X轴有两个交点.(2)Vf(1)=0,・・・1为f(x)二0的一个根，由韦达定理知另一根为.又*/a>0且cb>c,b=-a~ca>0,a>-a-c-2+3>-2+3=1.Tf(x)在(1，+8)单调递增，/.f(m+3)>f(1)二0.即存在这样的m使f(m+3)>0.(3)令g(x)二f(x)-[f(xl)+f(x2)],则g(x)是二次函数.Vg(xl)•g(x2)二[f(xl)-][f(x2)-]二-[f(xl)-f(x2)]2W0，又Tf(xl)Hf(x2),g(xl)•g(x2)(II)若关于X的方程F(x)=k恰有三个不等的实数根，求

10、实数k的取值范围.解析(1)依题意得，方法一：令f‘(x)=g'(x),得1二2x+3,故x二一1..：函数f(X)的图像与函数g(x)的图像的切点为(-1,0),将切点坐标代入函数f(x)二x+b可得b=l.方法二：依题意得方程f(x)=g(x),即x2+2x+2-b二0有唯一实数解,故厶=22-4(2-b)=0,即b=l,/.F(x)=(x+1)(x2+3x+2)=x3+4x2+5x+2,故F‘(x)=3x2+8x2+5=3(x+1)(x+),令F'(x)=0,解得x=-l,或x=~..•.当X变化时，F'(x),F(x)的变化如下表：从上表可知

11、F(x)在x=-处取得极大值，在x=-l处取得极小值0.(II)由(I)可知函数y=F(x)大致图像如下图所示.作函数y=k的图像，当y=F(x)的图像与函数y=k的图像有三个交点时，关于x的方程F(x)二k恰有三个不等的实数根.结合图形可知：ke(0,).点评本题综合了函数、导数，单调性、极值、方程的解等知识.此题发现”f(x)=x+b是g(x)=x2+3x+2的切线”是解题的关键•后利用导数的几何意义求出b,再由导数与单调性，极值的关系作出函数y=F(x)与y=k的图像，将方程的根转化到两个函数图像的交点个数，利用数形结合的思想求解.五、函数与方

12、程思想在三角函数中的应用例5已知函数f(x)=x2-(m+1)x+m(m^R),(1)若tanA,tanB是