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1、解函数问题中的数学思想山东省枣庄市第九中学277100秦振数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁。解决函数问题经常用到各种基本数学思想，掌握这些数学思想有利于提高我们分析问题和解决问题的能力。下面介绍数学思想在函数中的应用，供大家参考。一、方程思想方程与函数联系密切，把函数问题转化为相应的方程问题,利用方程的性质处理，使函数问题得到解决，这一思想方法就称为方程思想.例1已知∈，＝－（∈），问可以是偶函数吗？可以是奇函数吗？为什么。分析由函数奇偶性的定义知,偶函数满足方程＝，奇函数满足方程＝－，分别
2、解方程即可。解因为＝－＝－，显然对∈，∈,＝－≠－＝，所以对任意一个常数∈，方程＝不成立，即不可能是偶函数。若要为奇函数，则＝－,即＝－＝－＝－＋成立，解得＝1。故当＝1时，是奇函数；不存在使是偶函数.评注此题用方程的思想方法求解，思路清晰、过程简捷。方程的思想方法是解决函数问题的常用方法之一.二、对称思想有些函数具有对称性,解决对称性问题的基本方法是利用图象上横坐标与函数值的关系，用相关点来解决.或者利用对称的代数性质求解。例2如果函数＝，对任意实数都有＝，比较、、的大小。分析因为对任意实数都有＝,所以函数关于＝2对称.然后根据函数
3、的对称性和单调性求解即可。解由题意知，关于＝2对称。故＝.因为函数在［2,＋∞）上是增函数，所以＜＜，即＜＜。评注使用对称的思想方法解决问题，可以化繁为简，化难为易，使解题过程脉络清晰。三、数形结合思想图1xyO1－1在解函数问题时，可以根据“式"的结构特征,构造相应的几何图形，并通过图形的性质解决函数问题。例3已知是定义在上的奇函数，且在区间(0,＋∞)上是增函数，若＝0，＞0,且≠1,解不等式＜0.分析由题意是定义在上的奇函数，且在区间（0，＋∞)上是增函数，由＝0，可得大致图象，如图1所示，因此在（－∞,0）上是增函数,且＝0,
4、从而可以在＞0，且≠1，条件下解不等式＜0。解由题意可知，在（－∞，0)上是增函数，且＝0，所以＜0＝,或＜0＝,所以或又因为＞0，且≠1,解不等式组得。评注如果能把函数问题以“图形"的形式描述,揭示出命题的几何特征，就能变抽象为直观，使抽象思维和形象思维在解题过程中相互转化，使初看很难或很繁的问题变得容易和简单。四、补集思想对于有些问题，如果从正面求解比较困难，则可以考虑先考虑问题的反面，求出使问题反面成立的集合,则集合的补集即为所求。例4设函数、的定义域都是[0，1]，证明：存在、∈[0,1］,使得≥成立。分析问题的反面是：对任意
5、、∈[0，1]，都有＜.为了降低问题的难度，根据问题的特征，选取一组特殊值证明。证明设对任意、∈［0，1］，都有＜。取特殊值＝0，＝0;＝1，＝0；＝0,＝1；＝1，＝1可得＜，＜，＜,＜，以上四式相加，得＋＋＋＞＋＋＋≥
6、0－－＋0＋＋＋0＋＋＋1－－
7、＝1。这是不可能的，即假设是错误的。因此，存在、∈[0,1]，使得≥成立。评注使用补集思想解题的关键是正确找到问题的“反面"，也就是确定出全集和补集，再求出问题的“反面”，最后正确地给出问题的结果.五、分类讨论思想它是根据函数的特征，确定划分标准,进行分类，然后对每一类问题分别进行求
8、解,最后综合给出答案。例5设定义域上的函数既是单调函数又是奇函数，若＋＞0对一切∈成立，求实数的取值范围。分析由题意可得＞，且函数在上是单调的，没有指出其增减性，因此,要分两种情况讨论。解由已知,得＞－。因为是奇函数，所以＞。由于函数在上是单调的，但没有指出是递增还是递减，所以分两种情况讨论:(1)若单调递增，则＞－＋2,即－＋2＜0,此不等式不可能对一切∈成立，故舍去.（2）若单调递减,则＜－＋2，即－＋2＞0。因为对一切∈成立，所以△＜0，即－4×2＜0,得－2－1＜＜2－1。综上所述，所求的范围是－2－1＜＜2－1。评注使用分类
9、讨论思想解题时，划分标准十分重要，这个标准应该是科学的、合理的，要满足互质、无漏、最简的原则。六、整体思想整体思想方法，它体现在函数解题中,不是着眼于函数的某一性质，而是将问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体性质,达到顺利而简捷解决问题的思想方法。例6设函数在(－∞，＋∞）上满足＝，＝,且在区间[0，7］上只有＝＝0.（1）试判断函数y＝的奇偶性；（2）试求方程＝0在区间［－2008，2008]上根的个数，并证明你的结论。分析如果在每个单调区间分别求根比较复杂，我们可以利用条件整体求根的个数.解(1)由得即.所以.因此函数的
10、周期T＝10。又＝＝0，而≠0，＝＝≠0，所以≠±,故函数y＝是非奇非偶函数.（2）由＝＝0，＝＝＝＝0,故在[0，10]和[－10,0］上均有两个解，从而可知函数y＝在[0，2008]上有402个解，在[－2008，0
