数学解题中函数思想的运用

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1、数学解题中函数思想的运用武功县普集高中党武军摘要：函数思想是数学思想的有机组成部分,它在数学解题中显得越來越重要。本文就其在不等式、数列、三角函数、解析几何、组合和求值等方面的应用作以说明。关键词：数学思想函数思想构造函数应用在数学教学中，按照大纲要求必须对学生进行相关数学思想渗透与培养。因为数学思想不仅始数学知识的重要组成部分，更是数学教学中进行素质教育的重要部分。所谓数学思想，就是对数学的知识内容和被所使用的方法的木质认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，而在后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征，是对数学规律的理

2、性认识。它包括:分类讨论思想、方程思想、转化思想、数形结合思想、函数思想、换元思想、对称思想、止难则反思想等等。本文拟就函数思想方面，讨论其在解题中的应用。所谓函数思想，指运用函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，然后去分析、研究问题转化问题并解决问题。函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、三角函数、不等式、数列、解析儿何等问题也常常可以通过构造函数來求解。一、解有关不等式问题冇些不等式问题运用函数的观点去分析,推理证明过程简洁又明快。例1・证明不等式：。简析：一般证法是按或分类讨论，过程繁琐，若构造函数。利用函

3、数的性质即可获得另一证法。证明：设是偶函数，因此，当时，从而于是时，故当时，恒有，即。例2•设实数a>l>b>0,问a,b满足什么关系时，不等式的解集是(1,+)。简析：欲设不等式的解集为(1,+),只需构造函数，使其在定义域上是增函数，且。解：设，因，故依题意，只需是(0,+)上的增函数且a>1>b>()是(0,+)上的增函数，是(0,+)上的减函数是(0,+)上的增函数故是(0,+)上的增函数又，令则因此，满足的关系式为。二、数列数列的实质是函数，用函数思想解数列问题能够加深对数列概念及公式的理解，加强知识点间的联系。例3等差数列｛｝的首项，前项的

4、和为，若，问为何值时最大？简析：运用数列屮的通项公式的特点,把数列问题转化为函数问题解决。解：依题意，设，，此函数是以为口变量的二次函数。故二次函数的图彖开口向下当时,最大，但中,当为偶数吋，吋，最大当为奇数时，时，最大。三、三角函数在解决三角函数相关问题时，我们应该注意到三角函数木身就是一种特殊的函数。例4・为任意三角形的三个内角,求证：对任意实数总成立。简析：由原不等式得，要证此不等式成立，只需构造函数：，证此函数在实数域至多有一解，即即可。证明：设恒成立。故成立。四、解析几何多数解析几何问题,其中的某些点，线处在运动变化Z中，这就引出了一些相互制

5、约的量，他们之间可能构成函数关系，故用函数的思想方法处理这类问题吋是很有效的。例5•设且抛物线被轴截得的弦长为，证明：O简析：由于弦长是与有关的变量，若能建立的表达式,那么结论相当于确定函数的值域。为确定函数的值域，必须先求出变量的解析式，再确定解析式小的口变量及其取值范围。解：在中，且又因为，故方程必有两个不同实根，则故是的二次函数，由及可得，由二次函数的单调性知，当时是单调递减的。即但，故O例6.设椭岡的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭岡上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求出椭圆上到点的距离等于的点的坐标。简析：由题意可设椭

6、圆的方程：，设其上一点到的距离为，则是关于的二次函数且，最远距离转化为二次函数取得最值问题。解：设椭圆的方程：(，故设椭圆上的点到的距离为，则()若，则当时，，即与矛盾若，则当时，得故所求椭圆方程为，且椭圆上的点到点的距离等于。五、组合例7•证明：当时,证明：设则当时，当吋,当时，六、求值求代数的值时，可以将代数式转化为函数式，利用函数的性质，可获得快捷解法。例8•如果实数满足那么的最大值是(1990年高考题)简析：由已知等式两边同除以得项，且得一关于的二次函数,求此函数垠大即可。解：由已知等式两边同除以得：由得当=2,即时有最大值3,从而。例9•设实

7、数满足，试求的值。简析：如果直接解这两个方程，过程冗繁。观察两个方程可把他们变为：，再构造函数。利用此函数的性质易求的值。解：设，显然，故为奇函数。又由为奇函数，易证是增函数，故。从上面的例了可以看到函数思想作为重要的数学思想渗透在很多知识点里面，我们平时在教学与学习时应该多去发掘、培养、训练、强化这种思想,以期提高数学解题能力及数学思想素质。以数学知识、数学思想方法、数学理性思维能力出发，对学生进行了多层次、多视点的开导，能够使学生的学习更具有针对性，从而也能够更好的培养学生各种能力的养成。