浅议函数与方程思想在解题中的运用

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1、浅议函数与方程思想在解题中的运用函数是集合与对应思想的体现，反应不同变量因素之间的对应关系.从数学行为上来说属于定性表征变量之间的从属关系•方程的思想,就是从问题的数量关系入手，定量地表示各个变量Z间的关系，借助数学语言将实际问题转换成数学模型•从解决方法上讲，大大增加了求解问题的可操作性•通常情况下，函数关系的确立是解决问题的首要条件，而后根据不同函数之间的数量关系建立抽象的定量数学模型，亦即通常所说的方程或者方程组，这样就达到了转换问题的目的，使得求解过程更为简洁.一、函数与方程思想中的基本要素分析初中数学中，函数与方程思想的学握是学生解决数学问题的基本技能.首先必须对初屮阶段函

2、数类型和性质冇较为深刻的理解，熟悉函数与方程思想解题时所涉及的基木元素•初中阶段最为常见的函数包括一次函数和二次函数•在实际题目中，这两种函数的考查频率也相对较高•因此，一次函数和二次函数的基本概念和表达式成为函数与方程思想中的首要元素.1.函数要素分析对函数基本表达式的理解是掌握函数与方程思想的先决条件•比如，表达式：(1)y二kx+b；(2)y=ax2+bx+c中，要使(1)成为一次函数，必须kHO.这是对一次函数最起码的理解•要达到熟练应用的程度，必须进一步挖掘该解析式中一次项系数k决定的图像类型，结合坐标轴构建清晰的数学模型，(2)式成为二次函数的先决条件是aHO.函数对应的

3、具体形状曲线随a的取值不同随之改变•按照教材内容中对该类函数基本概念的解释，从图像上构建数学模型，结合图形能够加深对函数知识的学握•具体如下：(1)式屮，根据k、b的正负取值可以构建不同形状的函数曲线；(2)式中可以根据a的正负确定二次曲线的开口方向等，合坐标系可以得到以下图像：图(a)图(b)图(c)图(d)从以上基本知识的梳理中可以看出，构建数学模型是对简单函数知识深刻理解的冇效途径，通过对关键系数的分类思考，可以全面掌握函数思想在解题过程中所具备的基木耍素，实际题目中涉及的函数知识点往往围绕以上关键系数展开•因此学会采用数学模型方法，以数形结合的方式巩固基本知识，是熟练掌握函数

4、与方程思想的基础.2.方程要素分析方程是解决问题的直接入手点，也是定量求解实际问题的必经之路.求解题目首先耍挖掘隐含条件•构建方程的首要任务是寻找题目中的等量关系•设想在题目所给条件下，存在一个类似方程式的等式，其中包括若干未知量和已知量•能否顺利应用函数与方程思想，取决于寻找方程所需要的对等条件•任何方程的求解，可以视为是对函数值为0时的自变量方程求解•比如，一元一次方程kx+b二0可以看做是y二kx+b的函数值为0时,自变量x的表达式•方程思想的应用在一定程度上拓宽了解题思维，使得对方程式的求解更加形象具体，某种意义上赋予了一定的数学含义，对学生來说更加具有启发性.二、函数与方程

5、思想在解题中的应用方程与函数本身就有必然的联系，方程可以视为是函数赋予特值后的自变量表达式•因此，方程与函数有着相同的思路和解题方法，都是通过建立相等关系，求出未知数的值•两者结合的思想关键就是找出相等关系,建立变量之间的等量关系，这是轻松求解函数问题的基础，可以使数学问题变得简洁、清晰.通常情况下，函数与方程思想的应用涉及方程组的求解，此类题目的一般解题步骤是尽可能挖掘题H所含条件，根据上文所提到的函数和方程所具备的基本元素，限定特征方程解析式对应的等式条件，将互相制约的各个方程联立起来，构建具有共解的方程组，以下实例具体说明.【实例】一条抛物线y二-12x2+(5-m2)x+m~

6、3与x轴有两个交点A、B,点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，口0A二0B.求m的值.分析：A,B为两交点且关于x轴对称，可知该抛物线对称轴x=-b2a为y轴，再结合特殊点位置x二0时，y>0,可轻松建立方程组求解•即5-m2=0m-3>0联合求解即可•该题在求解过程中首选根据抛物线特征参数，亦即对称轴方程确定关于in的方程式，再结合抛物线定点特征，限定m的取值范围，通过二者之间的制约关系，建立方程组求解，是典型的函数与方程思想的应用，是初中数学解题中的有效途径.三、结语初中数学中函数与方程思想的特征是采用运动和变化的观点，准确地把互相关联的变量以方程(组)的形式体现出来，进

7、而分析和研究数学问题中的数量关系.函数和方程思想的基本元素是函数对应的典型图像特征，以及基木定义限定的特征参数的阈值范I韦I,最终联合分析关联方程,从而增加了数学问题的可操作性.（责任编辑黄桂坚）