函数和方程思想在解题中应用

《函数和方程思想在解题中应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、函数和方程思想在解题中应用　　【摘要】本论文将所研究的问题借助建立函数关系式，结合初等函数，图像和性质，加以分析、转化、解决有关求值、数列、不等式、三角、解析几何等问题。同时利用方程的观点将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型或构造出关于主元的方程加以解决。【关键词】函数思想方程思想高考函数是中学数学的一个重要概念，函数一直是高考的热点、重点内容，它渗透在数学的各部分内容中，是高中数学的一条重要主线。新课标内容中不仅没有淡化这一传统，而且还有加强的趋势，这从考试说明中很容易看出来。但许多同学在学习这部分章节知识的时候都很难从本质上去理解、掌握，长期以来这部分知识又在

2、高考试题中占据着可观的分值，而且考核的形式也比较灵活，学生在学习过程中稍有不慎就容易造成失分现象。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。为此，本文就函数与方程思想在教材与高考试题中体现出来的具体案例进行解析。1.运用函数图像解题4函数和方程的关系非常密切，对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数y=f（x）看作二元方程y-f（x）.如解方程f（x）=0就是解y=f（x）的零点。例1：函数f（x）=4x-4，x≤1x2-4x+3，x>1的图像和函数g（x）=log2x的图像的交点个数是多少个？分析：求两个函数图像的交点个数

3、，即是求两个函数所对应的方程有几个相同的根，可建立方程：x2-4x+3=log2x，x>14x-4=log2x，00解：因为8（x+1）3+10x+1=（2x+1）3+5（2x+1），则原不等式可化为（2x+1）3+5（2x+1）>x3+5x，由此，可令函数f（x）=x3+5x，则f（x）在R上是单调递增函数，而原不等式可化为f（2x+1）>f（x），所以原不等式等价于2x+1>x，解得-10且q≠0）是关于n的指数函数，因此运用函数性质解决数列问题，是对数列概念的本质理解。例6：已知数列{an}中，a1=1，且点P（an，an+1）在直线x-y+1=0上.求数列{an}

4、的通项公式。解：∵点P（an，an+1）在直线x-y+1=0上，即an+1-an=1且a1=1，　　∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列。∴an=1+（n-1）·1=n（n≥2），a1=1也满足。∴an=n（n∈N*）.例7：已知数列{an}的各项都是正数，且a0=1，an+1=12an（4-an），n∈Z；4（1）证明：an　　（2）求数列{an}的通项公式an.（1）证明：用数学归纳法证明如下：i）当n=0时，a1=32，有a0　　ii）假设当n=k时结论成立，即ak-1　　则当n=k+1时，由ak+1=12ak（4-ak）可得ak-ak+1=12ak-1（

5、4-ak-1）-12ak（4-ak）=2（ak-1-ak）-12（ak-1-ak）（ak-1+ak）=12（ak-1-ak）（4-ak-1-ak）因为ak-10所以ak　　又ak+1=12ak（4-ak）=12[4-（ak-2）2]0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点。（1）若ED=6DF，求k的值；（2）求四边形AEBF面积的最大值。【点拨】（1）将直线方程和椭圆的方程联立，设出相关点的坐标，消去参数，解方程求k；（2）由已知可得

6、AB

7、=5，四边形AEBF面积转化为两个三角形的面积的和，从而求点E、F分别到直线AB的距离，可以将面积表示为k的函数，再利用均值不

8、等式求最大值。　　【解答过程】（1）依题设得椭圆的方程为x24+y2=1，直线AB，EF的方程分别为x+2y，y=kx（k>0）.如图8-2，设D（x0，kx0）4，E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x10（或f（x）4