如何构造函数解决含参不等式恒成立问题

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1、如何构造函数解决含参不等式恒成立问题广东省珠海市实验中学邹秀清在历年的高考中，含参不等式恒成立以确定参数的取值范围的问题常常出现。解决此类问题常见的方法有：分离参数法；分类讨论法；数形结合法，主参变更法；构造函数法等等。但在这些方法中基本上都跳不出构造函数，利用函数的性质或图象来解题,因为函数，方程，不等式是三位一体的东西。事实上，当某些数学问题使用通常办法按定势思维去解很难凑效时，依据题设条件的特点，用已知条件中的元素去构造新的对应关系或新的数学模型，可使复杂问题简单化，进而解决问题，这就是用构造法解题。我们知

2、道，函数概念是高中数学的一个很重要的概念，其思想和方法已渗透到数学的各个分支。在某些数学问题中，通过数式类比，构造适当的函数模型，然后利用函数的有关性质结论解题，往往收到意想不到的效果。那么如何构造函数呢？当然是抓“形”，也就是要认真把握不等式的结构。下面简单探讨一下自己的一些看法。一．主元变更构造函数在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元（未知数），而把另一个变量看成参数，但在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。例1：

3、若对一切，不等式恒成立，求实数x的取值范围。解：原不等式变形为，现在考虑p的一次函数：∴在上恒成立∴解得：或∴x的取值范围为注：本题对于一切不等式恒成立，因此应视p为主元，视x为参数，把不等式左边变成关于p的一次函数型。二.分离参数构造函数若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）恒成立2）恒成立例5．已知函数时恒成立，求实数的取值范围。解：将问题转化为对恒成立。令，则由可知在上为

4、减函数，故∴即的取值范围为。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决三.等价转换构造函数例：对于，恒成立，求实数m的范围。解：原不等式变形为：即令，∴令＝∴题意为>0在上恒成立。∴或＝－4×1×()<0或>0解得：或或∴，即m的取值范围为：四．从数形结合的角度构造函数数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。例6、若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。解：由题意知：在内恒成立，在同一坐标系内，分别作

5、出函数和观察两函数图象，当时，若函数的图象显然在函数图象的下方，所以不成立；当时，由图可知，的图象必须过点或在这个点的上方，则，综上得：但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。