含参不等式恒成立问题的解法

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1、含参不等式恒成立问题的解法恒成立问题是数学中常见的问题，也是命题的一个热点。大多是在不等式中，以已知一个变量的范围，求另一个变量范围的形式出现。选择恰当的方法，不仅是解决这类问题的关键，也可以简化解题的过程。这类问题有哪些常见的解法？一、基础知识点：１、f(x)=ax+b,x[α,β]，则：f(x)>0恒成立＜＞f(x)<0恒成立＜＞αβoxyf()>0f()>0f()<0f()<0２、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：______________________。a=b=0C>0或a>0Δ=

2、b2-4ac<0ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是：______________________。a=b=0C<0或a<0Δ=b2-4ac<0３、ａ≥f(x)恒成立的充要条件是：_____________;ａ≤f(x)恒成立的充要条件是：_____________。ａ≥[f(x)]maxａ≤[f(x)]min二、典型例题：例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0................(*)（1）当

3、x

4、≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围；（2）当

5、m

6、≤2，(*)式恒成立，求

7、实数x的取值范围.当1-m<0时，即m>1,(*)式在x[-2,2]时恒成立的充要条件为：解：(1)当1-m=0即m=1时，(*)式恒成立，故m=1适合(*)；(1-m)•(-2)2+(m-1)•(-2)+3>0当1-m>0时，即m<1,(*)式在x[-2,2]时恒成立的充要条件为：△=(m-1)2-12(I-m)<0，解得:-110恒成立g(-2)=3x2-3x+3>0g(2)=-x2+x+3>0解(2):设g(m)=(-x2+

8、x)m+(x2-x+3)（m[-2,2]）即xR0................(*)（1）当

9、x

10、≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围；（2）当

11、m

12、≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围.1、一次函数型问题，利用一次函数的图象特征求解。2、二次函数型问题，结合抛物线图象，转化成最值问题，分类讨论。小结:y1=x2+2-３-３2y2=kxy=2xy=-2x解：原不等式可化为：x2+2>kx若不等式x2-kx+2>0,对x∈[-3,3]恒成

13、立，则实数k的取值范围是——————————。设y1=x2+2(x[-3,3])y2=kx在同一坐标系下作它们的图象如右图:由图易得:-2

14、需使loga2≥(2－1)²，即a≤2，综上可知当1＜a≤2时，不等式(x－1)²＜logax对x∈(1，2)恒成立.例3设当时，恒成立，求m的取值范围。解：恒成立，即成立即故只须求出在［－1，2］上的最大值即可。得，，，，所以，所以m的取值范围是m>7。小结：4、通过分离参数，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使问题获解。三、课时小结：2、二次函数型问题，结合抛物线图象，转化成最值问题，分类讨论。3、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图象

15、的关系再处理。4、通过分离参数，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使问题获解。1、一次函数型问题，利用一次函数的图象特征求解。四、布置作业：例2分离参数法谢谢！再见