含参不等式恒成立问题解法漫谈.pdf

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1、教学研究新课程NEWCURRICULUM含参不等式恒成立问题解法漫谈焦海廷（河北省石家庄市矿区中学）摘要：含参数不等式的恒成立求参数范围问题常用解法：利用一次函数的性质去求参数；若二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0，x∈R）对一切实数恒成立，可由Δ＜0与a＝0，a＞0，a＜0结合求参数；若二次不等式在某一区间上恒成立，由二次不等式相应函数在这个区间上的最值求解，即（fx）≤a（或（fx）≥a）恒成立（fx）max≤a或（fx）min≥a是分离参数后，利用函数在这一区间上的最值求解；非二次不等式在某一区间上恒成立，由不等式分离参数后，利用函数在这一区间上的最值求解；某些不等

2、式恒成立问题可转换为求函数或不等式的最值问题，由此来求参数。关键词：含参不等式恒成立；分离参数；一次函数；二次函数；最值“含参数不等式的恒成立”问题，是近几年高考的热点，涉及例3.（天津文10）设（fx）是定义在R上的奇函数，且当x≥0一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、时，（fx）=x2，若对任意的x∈［t，t+2］，不等式（fx+t）≥2（fx）恒成立，函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培则实数t的取值范围是（）养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。恒成立问题A［．姨2，+∞）B［．2，+∞）在解题过程中大致可分为以下几

3、种方法。C（．0，2］D［．-姨2，-1］∪［姨2，0）一、利用一次函数的性质去求参数。解析：∵（fx+t）≥2（fx）即（x+t）2≥2x2例1.对于满足p≤2的所有实数p，求使不等式x2+px+1>即x2-2tx-t2≤0在x∈［t，t+2］上恒成立，2x+p恒成立的x的取值范围。由对称轴为x=t，令g（t）=x2-2tx-t2，解析：在不等式中出现了两个字母：x及p，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，只需g（t）max≤0即g（t+2）≤0则上述问题即可转化为在［-2，2］内关于p的一次函数大于0恒∴t≥姨2成立的问题。四、非二次

4、不等式在某一区间上恒成立，由不等式分离参数不等式即（x-1）p+x2-2x+1>0，设f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，后，利用函数在这一区间上的最值求解。则（fp）在［-2，2］上恒大于0，故有：例4.求使不等式a＞sinx-cosx，x∈［0，π］恒成立的实数a的（f-2）＞0x2-4x+3>0x>3或x＜1范围。≤即≤解得：≤.（f2）＞0x2-1>0x>1或x＜-1πππ解析：由于a＞sinx-cosx=姨2sin（x-），x-∈［-，∴x<-1或x>3.444二、若二次不等式（fx）=ax2+bx+c>0（a≠0，x∈R）对一切实数3π-］，显然函数有最大值姨

5、2，∴a≥姨2。4恒成立，可由Δ＜0与a＝0，a＞0，a＜0结合求参数。五、某些不等式恒成立问题可转换为求函数或不等式的最值例2.若不等式（m-1）x2+（m-1）x+2＞0的解集是R，求m的问题，由此来求参数。范围。例5.设实数x，y满足x2+（y-1）2=1，当x+y+d≥0恒成立时，d解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别的范围是（）式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。（1）当m-1=0时，不等式化为2>0恒成立，满足题意；解析：要使x+y+d≥0恒成立，只需d≥（-x-y）max，∵（x，y）满足方程x2+（y-1）2=1，则设m-1>

6、0（2）m-1≠0时，只需≠Δ=（m-1）2-8（m-1）＜0x=cosα，y=1+sinα所以，m∈［1，9）。-x-y=-cosα-sinα-1三、若二次不等式在某一区间上恒成立，由二次不等式相应π=-姨2sin（α+）-14函数在这个区间上的最值求解，即（fx）≤a（或（fx）≥a）恒成立（fx）max≤a或（fx）min≥a是分离参数后，利用函数在这一区间上其最大值为姨2-1∴d≥姨2-1的最值求解。誗编辑董慧红-118-含参不等式恒成立问题解法漫谈作者：焦海廷作者单位：河北省石家庄市矿区中学刊名：新课程·中学英文刊名：Xinkecheng年，卷(期)：2014(12

7、)引用本文格式：焦海廷含参不等式恒成立问题解法漫谈[期刊论文]-新课程·中学2014(12)