再谈含参不等式的恒成立问题-论文.pdf

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1、难点剖析@再谈含参不等式的恒成立问题■唐海龙对含参不等式恒成立问题的求解，见之于多种例2若函数)s—ox2+1在区间[一1，1]上为减报纸杂志中，常用的求解策略有：若参数易于分离，函数，求实数。的取值范围。往往采用参数分离法，化为在区间D上o>g()(或n解析：·．-函数厂()在区间[一1，1]上为减函数，())恒成立型，只需Ⅱ>鲁_眦()(或。())，即转化f(x)=3x2-2ax一≤O在区间[一1，1]上恒成立，为求函数的最值问题；若参数不易分离，由于对应函又‘．‘函娄妒()为凹型函数．，()≤0在区间[一1，1]数的最值往往受参数的影响，所以一般需要讨论确上恒成立的充要

2、条件为。，且9a％2a-3／>0定。本文介绍求解此类不等式而避免讨论的求解策略：【，【1)≤0a20，⋯一一若为函数)的极小值点或区间端点，则含参解得一3或a>3，不等式厂(n，)>0恒成立的充要条件为nf(x)>O；若她所以实数0的取值范围是0∈(一，一3)u(3，+)。为m~f(x)的极大值点或区间端点，则含参不等式推论2：若，()为一次函数，则不等式)>0在区a，)<0恒成立的充要条件为广)<0。从而可将间[m，n]上恒成立的充要条件是)<。在对函数最值的讨论问题转化为解不等式组。达到优区上恒成立的充要条件是。化解题过程，化繁为简的效果。例1已知函()=÷X3-(1+a

3、)x+4ax+24a，其例3已知A、、C是直线z上的三点，向量DA、OB、OC满足0A一[)+2厂(1)]·OB+ln(一1)·OC=O。中a>l。(1)求函数)的表达式；(I)讨论函数)的单调性；(2)i>0时，，()>O恒成立，求实数a的取值范(2)若不等式÷≤)+m2-26m一3对∈[一1，1]围。及b∈[一1，1]都恒成立，求实数m的取值范围。解析：(1)，’()=X2—2(1+a)x+4a，令，，()=0得1=解析：(1))=ln(x+lo2~x2=2a，’．’n>1(2)要使÷≤)+m2-2bm一3对∈[一1，1]及‘．．2a>2·b∈[一l，1]都恒成立，只需_

4、=1_2—)<~mZ-2bm一3在．．当x<2或x>2a时，厂()>O，函数)单调递增；当2<时()<0，函娄)单调递减。∈[一1，1]及b∈[一1，1]都恒成立，(2)由(1)知m~f(x)的最小值点可能在x=0或x=2a，@fix)=-~-xZ-ln(2+1)，Z『a>l()>o恒成立的充要条件是i厂(0)>0，即()：，2口)>o·．当∈[一1，O]时，，，()>0，当(0，1]时，()<0，{fa>l·24a>0，解得lO．．只需m2—2bm一3≥厂(0)=O在b∈[一1，1]上恒

5、成立，a∈(1。6o·推论1：)为凸型函数，则不等式)>0在区．(6)一2mb+(m~一3)是关于b的一次函数，‘间[m，n]上恒成立的充要条件是；若)为．脂Bp{m％2m-3I>0解得一s凹型函数，则不等式)<0在~lhq[m，n]』：恒成立的或m≥3。所以实娄的取值范围是m∈(一，一3)u(3，+)。充要条件是。(作者单位：湖南省衡阳县第六中学)