含参不等式恒成立问题的解题思路

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1、含参不等式恒成立问题的解题思路——兼析2006年上海高考(理)第12题上海市松江四中高吉全本文讨论含参不等式问题的解题思路,由于这类问题的解决与数学的基本思想(函数与方程的思想,化归与转化的思想,数形结合的思想,分类讨论的思想)密切相关,因而受到命题人员的青睐,频频出现在各地的高考试卷上,上海2006年的高考(理)卷上,以设计新颖、不落俗套的创意推出了如下一道新题:232[例1]:三个同学对问题“关于X的不等式x+25+x−5x≥ax在[1、12]上恒成立,求实数a的取值范围”提出各自的解题思路.甲说:“只须不等式左边的

2、最小值不小于右边的最大值”.乙说:“把不等式变形为左边含变量x的函数,右边仅含常数,求函数的最值”.丙说:“把不等式两边看成关于x的函数,作出函数图像”参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即a的取值范围是______________.事实上,上述三种解题思路鱼目混珠,有的合理,有的错误,这需要辩别、判断,即便是正确的思路,还需寻找具体的突破口、尝试具体的方法,加上本例不等式是含绝对值符号且为三次的不等式,因而能力要求更为突现,引起了人们广泛的兴趣与关注.易知,甲的解题思路是错误的,他只是提出了这类恒成立问

3、题的一个充分性结果的思路,因而是片面的、不完备的;而另外两人的解题思路,是合理的、有效的,乙的思路提供了一种代数解题的方向,丙的思路提供了一种几何解题的方向,两者各有特点,它们构成了解决这类问题的有代表性的两种解题策略.1、分离参数最值法.按照乙的解题思路,本例的解题步骤归纳如下:(1)将原不等式分离参数,得f(x)≥g(a);(2)求f(x)的最小值f(x);(3)由minf(x)≥g(a)得a的范围.min1252本例分离参数后易得:(x+)+x−5x≥a,x∈[1，12].关键转化为求函x252数f(x)=(x+)

4、+x−5x,x∈[1，12]的最小值了,于是不同的思考角度,可x获不同的最值求法,可得多种不同的解法.[解一]:当1≤x≤12时,252Θ函数(x+)与函数x−5x分别同在x=5时取得最小值∴fmx∴f=f(5)=10min∴a≤10为所求.[注]:以上的简洁解法得益于本例函数的特殊性,上述和函数f(x)=g(x)+g(x)的最值求法不具一般性.因为通常情况下,f(x)的最值12不是g(x)、g(x)的最值的和,仅当g(x）、g(x)在同一点x=x取得最值12120时,才能确认f(x)是f(x)的最值.0⎧225−++x

5、x6(15≤≤x)⎪⎪x[解二]:将f(x)写成分段函数fx()=⎨，于是,⎪xx2−+4(255≤≤x12)⎪⎩x利用导数工具探求f(x)的最小值得:o1当1≤x≤5时25253Θf′(x)=−2x+6−=6−(x+x+）≤6−325<022xx∴f(x)↘o2当5≤x≤12时25Θf′(x)=2x−(4+)↗⇒f′(x)≥f′(5)=5>02x∴f(x)↗oo由12:f(x)=f(5)=10⇒a≤10为所求min⎧225−++xx6(15≤≤x)⎪⎪x[解三]Qfx()=⎨于是,还可利用函数的⎪xx2−+425(5≤

6、≤x12)⎪⎩x2单调性定义探求f(x)最小值：o1任取x、x[∈1,5]，且x0，判别121221222x2(6−x2)⋅(6−x2)式Δ=x⋅[x(x−6)−100]=x⋅[−100]<0,于是恒22222有g(x)>01易知：f(x)>f(x)⇒f(x)在[1，5]上↘12o2任取x，x∈[5

7、，12]且x6,⎜⎟<⇒+−−>1xx4012min12xxxx⎝⎠12max12⇒

8、)>g(a)恒成立⇔f(x)>g(a)minf(x)≥g(a)恒成立f(x)≥g(a)min2数形结合图像法。按丙的解题思路，解题重点在于作出不等号两边的两个函数图像，但是，本232例涉及的函数y=x+25+x−5x(1≤x≤12)或者13⎧225−++xx6(15≤≤x)⎪⎪xy=⎨的图像不好作，因而需对原问题作等