含参不等式恒成立问题解题策略

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1、含参不等式恒成立问题解题策略含参数不等式的恒成立问题，是近几年高考的热点，此类问题综合性强，且确定参变量取值范围的不等量关系也较为隐蔽，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何、导数为载体，考察等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想，对学生的思维能力要求较高。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法对二次不等式在上的恒成立问题，可考虑结合二次函数的图像，应用判别式法解决。一般地，对于二次函数，有(1)对恒成立；(2)对恒成立例1设，当时，恒成立，求实数的取值范围；分析：当时，恒成立，即当时，恒成立，观察二次函数的图像可知，

2、只需函数图象在轴的上方，故需。解：恒成立，即当时，恒成立，故实数需且只需，所以。点评：判别式法一般用于二次不等式在上的恒成立问题，对于二次不等式在给定区间上的恒成立问题，由于条件比较复杂，应选用其它解法，另外，对于二次型不等式的恒成立，则需对二次系数进行讨论。二、最值法最值法是将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，一般转化类型有：(1)恒成立或恒成立；(2)恒成立或恒成立；(3)恒成立；例2已知两个函数(1)若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；(2)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围。分析：由，可构造函数，然

3、后转化为求的最小值，对于恒成立，注意到两边并不一定取相同的自变量，故。解：(1)对任意的恒成立对任意的恒成立对任意的恒成立对任意的恒成立。令，则，由得，且当时，，当时，，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，，所以在上的最大值为，所以。(2)恒成立()，由的，故函数在上单调递减，在上单调递减，，故，又因为，所以，既。点评：要注意题目两问中条件的不同，(1)中，不等号两边是同一自变量，(2)中，不等号两边的自变量可以取不同的值，不同的条件对应着不同的转化形式。三、分离参数法所谓分离参数法就是将参数与未知量分离于表达

4、式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围。这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决。这种方法本质还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。此解法一般适用于参数与变量能分离且分离后函数的最值易求出的题目。一般类型有：1）恒成立2）恒成立例3在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。分析：因为函数的表达式较复杂，先对函数解析式化简,再利用绝对值的性质对等价变形。解：因为故恒成立等价于恒成立，即恒成立，又，故，从而。点评：在上述解题过程中，因为的最大值能取到，故，而的最小值取不到，当时也适合，所以。在求最值时，一定要注

5、意分析函数的最值能否取到，这直接影响到参数的取值范围。例4已知函数，若其导函数在上恒成立，求实数的取值范围。分析：由知在上恒成立，分离参数，将问题转化为函数的最值问题。解：，由在上恒成立，即对恒成立。当时，恒成立，又因为函数在上单调递增，故当取到最小值，・•・；当时，显然在上恒成立，故；当时，恒成立，又函数在上单调递增，故当取到最大值,■综上可知要使对恒成立，需。点评：本题在分离参数过程中，按自变量的取值范围进行了分类讨论，由于必须它们都成立原式才会在所求的区间上恒成立，故所求的范围应是三者的交集。四、变换主元法某些含参不等式恒成立问

6、题，分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，此时可考虑变换思维角度，把变元与参数换个位置,再结合其它知识求解，往往会取得出奇制胜的效果。例5对任意，不等式恒成立，求的取值范围。分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。解：令，则原问题转化为恒成立（）。当时，可得，不合题意。当时，应有解之得。故的取值范围为。点评：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为。在利用变换主元法解题时，面对多个字母，同学们往往对谁是主元，谁是参数分辨不清，这时需抓住

7、”求谁的范围谁就是参数”这一区分标准。四、数形结合法数学家华罗庚曾说过：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1）函数图象恒在函数图象上方；2）函数图象恒在函数图象下上方。例6若时，不等式恒成立，求的取值范围。分析：若将不等式两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图像是抛物线，右边是常见的对数函数的图像，故可通过图像求解。解：设，，则的图像为图中所示的抛物线，要使对一切,成立，显然。当时若，贝I],又对数函数（），越大图像

8、越接近轴，.：。点评：再利用函数图像求解时，一定要弄明白相关函数图像的特征和变化规律，并且要善于抓住图像变化中的”临界”，并以此展开分析，如解法中的就是一个”临界”。从以上可以看出，含参数不等式的恒成立问题，解题的关键是