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《含参数不等式恒成立问题的解题策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、含参数不等式恒成立问题的解题策略一：分离参数，转化为求函数最值法例1（2008安徽高考理20）设函数f(x)=①求函数f(x)的单调区间②已知对任意的x∈(0,1)成立，求实数a的取值范围.解：①略，易知f(x)的单调增区间为（0，）,单调减区间为（，1）和（1，＋∞）③对两边取自然对数，得ln2>alnx两边同时除以lnx，分离出参数a，得a>（）由①知,当0-e·ln2即可保证原式恒成立.所以实数a的取值范围是（－e·ln2,+∞）例2：（2008上海理19）已知函数f(x)＝2x-①若f(x)=2求x的值②若
2、2tf(2t)+mf(t)≥0对t∈［1,2］恒成立，求实数m的取值范围.解：①略②当t∈［1,2］时，原不等式等价于即2t（2t+对t∈［1,2］恒成立∴m≥－（22t+1）对t∈［1,2］恒成立∵t∈［1,2］∴-(22t+1)∈［-17,－5］∴m≥－5所以实数m的取值范围是［－5，＋∞］第7页共7页二：分离参数，转化为求函数确界法.例3 已知函数f(x)=x3-x2+ax+b在区间（0,1］上单调递增，求实数a的取值范围.解：依题意知：f＇(x)=3x2-ax+a≥0在区间（0,1］上恒成立.即a(x-1)≤3x2在（0,1］上恒成立.当x=1时，上式恒成立.当x≠1时，a≥在（
3、0，1）内恒成立（*）设g(x)=显然函数g(x)在（0,1）内不存在最大值，但存在上确界M上＝0∴a≥0即可保证（*）式恒成立，所以a的取值范围是［0，＋∞）注：若函数f(x)在开区间（m,n）内无最大值，但有上确界M上，则g(a)>f(x)在（m,n）内恒成立g(a)≥M上g(a)≥f(x)在（m,n）内恒成立g(a)≥M上若函数f(x)在开区间（m,n）内无最小值，但有下确界M下，则g(a)＜f(x)在（m,n）内恒成立g(a)≤M下g(a)≤f(x)在（m,n）内恒成立g(a)≤M下三:不分离参数，直接求最值法例4.（2008江苏14）设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R)，
4、若对于任意x∈［－1,1］，都有f(x)≥0成立，求实数a的值。解：由题意知：对任意x∈［－1,1］，f(x)min≥0（I）当a≤0时，f＇(x)=3ax2-3＜0,f(x)在［－1,1］上单调递减，∴f(x)min＝f(1)=a-2≥0∴a≥2(与题设矛盾)不符合题意。（Ⅱ）当a＞0时第7页共7页由f＇(x)=0得x=±易知当x∈（－∞，－）、（，＋∞）时，f＇(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈（－，）时，f＇(x)＜0，f(x)单调递减。①当时，f(x)在［－1,1］上的最小值是f(-1)或f(),则∴即可， ∴∴a=4②当时，f(x)在［－1,1］上的最小值是f(1),则f
5、(1)0即可.∴a2.与矛盾，舍去。所以a的值是4四：逐层推进，逐步减元法例5（2008天津高考理20）已知函数f(x)=x++b(x≠0),其中a,b∈R①若曲线y=f(x)在点P（2，f(2)）处的切线方程为y=3x+1,求函数f(x)的解析式.②讨论函数f(x)的单调性.③若对于任意的实数a∈［,2］，不等式f(x)≤10在［,1］上恒成立，求b的取值范围.解：①、②略③首先，若对任意的实数a∈［,2］，不等式f(x)≤10恒成立，也就是g(a)=a+x+b≤10恒成立∵＞0，∴g(a)max=g(2)=第7页共7页∴对任意的x∈［,1］恒成立即可又∵x∈［,1］，∴h(x)=的最
6、大值是h()=8++b∴8++b即可∴b所以实数b的取值范围是（－∞，］五：数形结合，直观求解法例6（2008年全国卷I理20）已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R①讨论f(x)的单调区间②设函数f(x)在区间（－，－）内是减函数，求a的取值范围.解：①略②依题意知：f＇(x)≤0在（－，－）内恒成立.即3x2+2ax+1≤0在区间（－，－）内恒成立.（＊）设g(x)=3x2+2ax+1，由g(x)的图像可知：则即可保证（＊）式恒成立.解之，得a≥2所以，实数a的取值是［2，＋∞）六 变更主元，反客为主法例7(2008安徽文20)已知函数f(x)=x3-x2+(a+1)x+1,
7、其中a为实数.①已知f(x)在x=1处取得极值，求a的值；②已知不等式f＇(x)＞x2-x-a+1对任意的a∈(0，+∞)都成立，求实数x的取值范围.解：①过程略a=1②由题设知：ax2-3x+(a+1)>x2-x-a+1对任意a∈(0，+∞)都成立.第7页共7页即a(x2+2)-x2-2x>0对任意a∈(0，+∞)都成立.设g(a)=(x2+2)·a-x2-2x∵g(a)关于a单调递增∴对任意a∈(0，+∞),g(a)>0恒成立g
