含参数的不等式恒成立问题的处理策略

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1、含参数的不等式恒成立问题的处理策略耒阳一中付运平含参数的不等式恒成立求参数的取值范围的实质是已知不等的解集求参数的取值范围。学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍解决这类问题的策略和方法。一、分离变量法对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。例1.不等式-2cos2x+4sinx-k2+k<0对一切实数x恒成立，求参数k的取值范围。解：所给不等式可化为：(2sinx+1)k

2、?-k+3<==>(2sinx+1)2max3或kv-2故k的取值范围是(-厂-2)U(3，+°°)o一般地分离变量后有下列几种情形：%1f(x)>g(k)<==>[f(x)]min>g(k)%1f(x)>g(k)<==>g(k)<[f(x)]min%1f(x)[f(x)]max[f(x)]max

3、和运动变化的观点进行转化，化归为某一极端情形如端点、相切等，从而得到关于参数K的不等式。例2如果不等式/x-5Hkx+2在[s，+8]内恒成立求参数K的取值范围解：令f(x)=/x-5,g(k)=kx+2(x>5);f(x)的图象是抛物线yJx-5位于x轴上方的部分，g(k)的图象则是斜率为k在y轴上的截距为2的动直线itA(0,2)作y2=x-5的切线，令它的方程为y二kx+2,显然kHO由清去y得k2x+(4k-l)+9=0由△=~2Ok2_8k+1=0解得k=10y=「才x+2切抛物线y2=(x-5)于上半部y=--yx+2切抛物线y2=x-5

4、于下半部，故y=-j”x+2与y=/x+5相21切，又KBA=-丁，其中A(0,2)B(5,0),令y二x切y=/x-5于C，/x-5工kx+2在［5,+°°)内恒成立。(—)y=f(x)与y=g(x)的图象无交点，如图知当过A的直线在ZBAC的外部时它们没有交点12故当k>lo"或K<"V时，不等式/x-5kx+2,在［5，+°°)内恒成立。三、利用函数的单调性当不等式两边的函数在使不等式恒成立的区间内具有不同的单调性时，我们可以利用这一特点将问题化归为极端情形，从而将一般问题作特殊化处理。例3・不等式x2-logax<0在(0，冷-)内恒成立，求

5、参数a的取值范围。解：x2-logax<0可化为x2(+)20在［0,1］上恒成立，求实数a的取值范围。解：令f(x)=(x-1)log32a~6xlog3a+x+1即f(x)=

6、x(log32a~61og3a+l)+l-log32a{f(0)>0

7、Hog32a>f(x)>0在［0,1］上恒成立v=>即'—-1(1)>02-logsa>解之得：-l

8、logaxl>0恒成立，求实数a的取值范围。解：当X€[2,+8]州logaXI>0恒成立<==>当X€[2,+°°]时logaX>1或logaX>T若X€[2,+°°]log

9、aX>1恒成立logax>1x€[2,+°°].*.a>1从而y=log&x在[2,+8]上单调增加x€[2,+呵logax>1<==>loga2>1解得av2・•・1-1恒成立•.*logax>-1x€[2，+°°]-*.0-1<==>loga2-4-综上所述，a的取值范围是(1，2)U(*,1)六、利用判别式可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，可用判别式来求解。例$不等式v],对一切％均成立，求实数U1的取

10、值范围。解：-/4x2+6x+3=(2x+)2+弓->0在R上恒成立2送睹2x2+2mx+m<4x2