含参数的不等式恒成立问题-论文.pdf

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1、第2期范东晖：含参数的不等式恒成立问题·9·含参数的不等式恒成立问题●范东晖(北仑中学浙江宁波315800)1考点回顾一含参数的不等式恒成立问题，是近几年高考的热点，它，所以往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体，具有一定的g()=一21．综合性．解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想，由上可得120一≤一21，根据不等式的结构特征恰当地构造函数，从而转化为含参解得≥141，数的函数最值讨论．因此实数的取值范围是[141，+o。)．含参数的不等式恒成立问题，常见的是函数中的不等评注将恒成立问题转化为求函数的最值问题来处理，一般有下面2种类型：式恒成立问题，另外还有数列中的不等式恒

2、成立问题．涉及题型一般有2类：一是已知不等式恒成立，求参数的取值范(1)若所给函数能直接求出最值，则：)>0恒成立)>0；围，解决这类问题的基本方法是相同的，首选方法是利用分)≤0恒成立乍)⋯≤O．离参数转化为求新函数、新数列的最值问题，如果不能分离(2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分参数或者分离参数比较复杂时，一般选择函数的方法，建立离于不等式2端，则问题转化为求主元函数的最值，进而求参数所满足的不等关系，利用函数的最值或值域解决；二是出参数范围，有(下面的。为参数)：证明不等式恒成立，在函数中一般选择以算代证，即通过求()，()～；函数的最值证明不

3、等式．在数列中，很多时候可以与放缩法)>g(0)恒成立(0)<)⋯．结合起来，对所证不等式的一侧进行适当放大或缩小．例2定义在R上的函数，()既是奇函数，又是减函2典例剖析例1已知2个函数，()=8x+16x一，g(x)=2x。+数，且当0Efo，詈1时，有，(cos0+2rosin0)+_厂(一2m一5+4，其中J}∈R2)>0恒成立，求实数m的取值范围．(1)若对任意的∈[一3，3]，都有f()≤g()成立，分析利用函数的奇偶性，将求的取值范围；COS0+2rosin0)+一2m一2)>0(2)若对任意的。，∈[一3，3]，都有)≤g()，化为_厂(COS0+2msinO)>，(2m

4、+2)，求的取值范围．再利用单调性去掉映射符号／，可得分析(1)令20+2rosin0<2m+2COSF()=g()一／)=2x一3x一12x+，问题转化为F()≥0在∈[一3，3]时恒成立，故解对0∈f0，}l恒成立．设sin0=t，则F()⋯>10即可．求导得t一2mt+2m+1>0F()=6x一6x一12=6(一一2)，对于tE(0，1)恒成立，设函数由F()=0，得g(t)=t一2mt+2m+1，=2或=一1．将“抽象函数”问题转化为常见的含参二次函数在区间(0，又因为F(一3)=一45，F(3)=一9，1)上恒为正的问题．而对于)>0在给定区间[Ⅱ，6]上恒F(一1)=+7，F

5、(2)=k一20，成立问题可以转化成为f()在[o，6]上的最小值问题，所以F()⋯=一45．厂()中对称轴为t=m，含有参数m，分①￡=m<0；②￡=mE．由

6、j}一45≥0，解得≥45．故实数的取值范围是[45，[0，1]；③f=m>1这3种情况进行讨论，可知：m≥一1．+∞1．(2)由题意可知当∈[一3，3]时，有评注利用不等式与函数和方程之间的联系，将问题转化成一次函数或二次函数(二次方程)的问题进行研究，)≤g()．由-厂()=16x+16=0，得=一1．因为一般有下面几种类型：一3)=24一√I—1)=一8一厂(3)=120一，(1)一次函数型问题：利用一次函数的图像特点求解

7、．所以)～=一+120．对于一次函数-厂()=kx+6(≠0)，∈[m，，妇，有由g()=6x+10x+4=0，得成；々一1或一亍·咂成立甘；，●、因为g(一3)：一21，g(3)=111，g(一1)=一1，g寻)=(2)二次函数型问题：结合抛物线的形状考虑对称轴、·】0·中学教研(数学)2Ol4年顶点、区间端点等，列出相关的不等式，求出参数的解．下面1+一⋯一争2⋯co～s。=是2种基本类型：对于二次函数_厂()=似+bx+(a~O，x∈R)，有一(+。+孚+2cosx)，①／(。．}xER恒成立曹{ieI()=1+。+等+2cosx=1+n+G(则0)<。对∈R恒成立铮ir△a<；<

8、。．，()=+G()．(1十J例3已知函数／()=(1+)e-2，g()=+孚+当∈(0，1)时，，()<0，故，()在[0，1]上是减函数，于是，()在[0，1]上的值域为[0+1+2cosl，n+3]．1+2XCOSX．当∈[0，1]时，因为当0>一3时，。+3>0，所以存在‰∈(0，1)，使得(1)求证：1一)≤南；I(x。)>0，此时。)