不等式恒成立问题的解题策略.doc

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1、不等式恒成立问题的解题策略不等式恒成立问题是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题.此类题型综合性较强，常涉及到一次函数、二次函数的性质和图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此成为历年高考的一个热点.题中所涉及的未知数、参数数目有多个，处理时常常陷入困境之中，本文通过几个具体例题，探讨该类问题的基本的解题策略。一.典例分析1、变“辅元”为“主元”例1、不等式解析：我们可以用改变主元的办法，将a视为主变元，将x视为参数，即将原不等式化为，则

2、令即解得点评：在不等式中出现了两个字母：x及a,而我们都习惯把x看成是一个变量a作为常数.本题可以转换视角，可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[1，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.此类题本质上是利用了一次数在闭区间上的图象是一条线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.此类题型借用一次函数的性质变“辅元”为“主元”对于一次函数有：2、利用一元二次函数的判别式解：（1）a=0时，满足题意。（2）解得0

3、a≤时，,要使不等式恒成立，只需解得a>,此时（2）当a>时,只需解得a>1;此时a>综上可知a>点评：此题属于含参数二次函数问题，在求最值时，对于轴变区间定的情形，需要根据对称轴与区间的位置进行分类讨论.对于二次函数在R上恒成立问题常采用判别式法，而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题.（1）对任意x都成立；（2）对任意x都成立。简单计作：大的大于最大的，小的小于最小的。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。4、参变量分离例3：解法二、原不等式可化为进一步可化为2a>,即2a>x+，x+在区间上单调递增,(x+)

4、=2+=,要使不等式恒成立只需2a>即a>点评：将所求变量与其他变量分离开，通过研究式中另外一个变量的已知范围来确定所求变量的范围.若所求变量为a，则根据a>f(x)恒成立a>f(x)max；a

5、何意义，要使得半圆恒在直线的上方（包括相交），当且仅当时才成立，所以a的取值范围就是.点评：本题是数形结合思想中的“形”中觅“数”，“数”上构“形”的充分体现.由表达式结构特征，能让我们联系到用其几何意义去处理.总结：恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化。正确选用函数法、主辅元转化法、最值法、变量分离法、数形结合等解题方法求解。石湖中学：胡鹏县级论文评选题目：不等式恒成立问题的解题策略作者：胡鹏学校：固镇县石湖中学时间：2006年6月9日