浅谈不等式恒成立问题的解题策略

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1、浅谈不等式恒成立问题的解题策略邢利军内容摘要：本文就含参数不等式的恒成立问题展开讨论，含参数不等式的恒成立问是不等式中重要的题型,也是各类考试的热点.这类问题既含参数乂含变量，考生往往难以入手，如何处理这类问题呢？转化是捷径.通过转化能使恒成立问题得到简化，而转化过程屮往往包含着多种数学思想的综合运用.本文就其常见类型及解题策略举例加以说明.关键词:参数数学思想不等式一、可化为一次不等式恒成立的问题例1・对于满足05P54的一切实数，不等式X2+px>4x+p-3iu成立，试求兀的取值范围.分析：习惯上把x当作自变

2、量，记函数y=x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为：当pe[0,4]时，y〉0恒成立，求x的取值范围.解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的.解：设函数/(p)=(x-l)p+(x2-4x+3),显然xhI,则于(p)是p的一次函数,要使f(p)>0恒成立，当且仅当/(0)>0,K/(4)>0时,解得兀的取值范围是(-oo,-1)53,+8)・点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于p的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换

3、变量角色.其实，上述这种方法乂叫变换主元法事实上，处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例2.对任意不等式兀$+@_4)兀+4-20>0恒成立，求兀的取值范伟I。分析：题中的不等式是关于兀的一元二次不等式，但若把。看成主元，则问题可转化为一次不等式(兀一2加+兀2_4兀+4〉0在dw[-1,1]上恒成立的问题。解：令/(a)=(x-2)a+/_4兀+4,则原问题转化为f(a)>0tU成立(ag[-1,1])0当x=2时，可得/(a)=0,不合题意。

4、当x^2时，应有

5、⑴〉解Z得兀vl或兀>3。1/(-1)>0故兀的取值范围为(-00,1)U(3,+00)O注：一般地，一次函数fM=kx+h伙HO)在也,0]上恒有f(x)>0的充要条件为g〉0/(/?)>0二、二次不等式恒成立问题有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。常常有以下两类情况：㈠可化为二次函数在R上恒成立问题设/(x)=ax2+/?%+c(aH0),(1)/(x)>0在xeR±.恒成立<=>6/>011A<0；(2)

6、(2)/(x)<0ftxG/?±恒成立<^>a0恒成立，求实数m的取值范围。解：不妨设f(x)=x2-2x+3-m,其函数图象是开口向上的抛物线，为了使f(x)>O(xgR),只需△§(),即(一2)2—4(3—m)50,解得mW2=>mw(—oo,2］。变形：若对于xGR,不等式mx2+2mx+3>0fu成立，求实数m的取值范

7、札此题需要对m的取值进行讨论，设f(x)=mx?+2mx+3。①当両0时，3>0,显然成立。②当m>0时，则△<()=>0

8、3O③当mvO时，显然不等式不恒成立。由①②③知me【°3)。关键点拨:对于冇关二次不等式ax$+bx+c〉0(或vo)的问题，可设函数f(x)=ax2+bx+c,由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象Aix轴的交点问题，由判別式进行解决。㈡可化为二次函数在闭区间上恒成立问题设/(尢)=Q兀$+bx+c(aH0)(1)当a>0时,f(x)>0在兀g[a,J3]±恒成立u><<〔/(0)〉OC2aA<0f(x)<0在兀e［a,0］上恒成立o(2)当avO时,f(x)>0在兀e[a,0]上tLi成立u>严)〉0/

9、(x)<0在兀e[a,/3]上恒成立o0C2aA<0_1时恒冇f(x)>k,求实数k的取值范围。解:令F(x)=f(x)-k=x2-2kx+2-k,则F(x)>0对一切x>_i恒成立，而F(x)是开口向上的抛物线。①当图彖与x轴无交点满足△<(),即△=41?一4(2-k)v°,解得—2vkvl。②当图象与x轴有交点，且在xw[-l,+oo)时F(x“°,只需A>0-2k<-1k<-2或k>1=>h+2k4-2-k>0,=>-3

10、2k<-l由①②知一3Skvl关键点拨：为了使f(x“k在x“-l,+oo)恒成立，构造一个新函数F(x)=f(x)-k是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。例3.已知关于兀的不等式(加2+4加—5)*—4(加—1)兀+3>0对一切实数兀恒成立，求实数m的取值范围.分析：利用二次项系数的正负和判别式求解，若二次项系数含参数吋