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《关于“恒成立”问题的解题策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、关于〃恒成立〃问题的解题策略九峰实验学校张晶2007-5-27在高中数学的学习过程中经常会碰到带有〃恒成立〃字样的问题，这类问题学生往往感到闲难。帮助学生领会问题实质，把握问题的思维特点，是解决这类问题的关键。实际上，〃恒成立〃问题的思维特点和解题的突破口就在一个〃恒〃字上，解决此类问题需要涉及到一次函数、二次函数的性质和图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学牛的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方血起到了积极的作用，因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下儿种类型：仃)一次函数型；(2)二次函数
2、型；(3)变量分离型；(4)根据函数的性质；(5)直接根据函数的图象；(6)反证法。本文通过对具体问题的分析，来说明〃恒成立〃问题的解法思路。一、一次函数型给定一次函数(H0),若在［m,n］内恒有＞0,则根据函数的图象(线段)可得上述结论等价于①或②也可合并成同理，若在内恒有，则有例1、若不等式21＞对一切都成立，求实数的収值范围。解：令=()-2+1,则上述问题即可转化为关于m的一次函数在区间［-2,2］内函数值小于0恒成立的问题。考察区间端点，只要V0且V0即可,解得丘(,)o本题的不等式中出现了两个变量：X、H1,并II是给出了m的范围，要求x的相应范
3、围。若直接从关于x的不等式正而出发求解较难，而把m看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可转化为在区间［-2,2］内关于m的一次函数函数值小于0恒成立，求参变量x的范围的问题,进而化难为易，问题得以解决.二、二次函数型若二次函数的函数值大于0恒成立，则有例如：关于的不等式对任意恒成立等价于，即。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利川韦达定理以及二次函数的图象求解。例2、关于的方程恒有解，求实数的范围。解法1(利用韦达定理)：设，则。故原方程有解等价于关于的方程有正根。即解得。解法2（利用二次函数的图象）:图⑴图⑵图⑶即关于的方程有正根，可设.10.若
4、二0,即，解得或。时，rh,得，不合题意；（如图1）时，由，得，符合题意。・・・.（如图2）20.若>0,即或时，・・•，故只需对称轴,即.・・・。（如图3）综上可得.这是一个含参数的指数方程的问题。题目屮出现了及，学生容易想到通过换元法转化成一•元二次方程求解，把原问题转化为一•元二次方程在区间上的恒成立问题。解法一•体现了方程的思想，利用了韦达定理作等价转化；解法二体现了数形结合和分类讨论的思想方法，把二次方程根的分如问题进一步转化成二次函数图象与x轴的交点的问题。这些都是常用的数学思想方法,在数学教学中应反复强调,以引起学生的重视，让其在学习数学知识的过
5、程中,不断加深对数学思想方法的理解，提高数学思维的灵活性。木题还对以用另一种方法来解决,就是下血介绍的变量分离法。三、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范圉为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的值域或故值问题求解。如果不等式对属于某个区间的一切自变量都成立，那么只要在这个区间上的最小值人于M即可，即；同样如果不等式对属于某个区间的一切口变量都成立，那么只耍在这个区间上的最大值小于M即可,即.例3、当为何值时，不等式恒成立？解：又（+）2+3的最小值为4.要使恒成立
6、（-1）2<4.解得0W9.当0W9时，不等式恒成立。本题中的不等式两边都有，若直接求解，则不太容易，因此可以先对不等式进行化简变形,把含有的项全部放在不等号一边，另一边看成关于cosx的二次函数，从而得以解决.特别要注意，用上述方法解不等式恒成立问题时，m必须是一个与自变量x无关的量，否则不能转化！乂如，在例2中对关于的方程在有解也可利用变量分离法。因为，所以可将写成，原问题就转化为求函数的值域。。从解答过程可以看出，川变量分离解题，运算过程比较简捷。四、利用函数的性质解决恒成立问题例4、已知函数图彖的一条对称轴方程为，求实数的值。解：根据题意，对任意的，都
7、有即也即对任意都成立，所以只能这里虽然没有〃恒成立〃的字样，但是告诉对称轴方程为，其实就是告诉了该函数的一个性质，就是说对任意的，都有，这是一个恒成立问题。所以我们要引导学生挖掘题目中条件的本质，在解题过程中要善于转化•比如：函数为偶函数就等价丁•对定义域中的任何，都有；函数的瑕小值为就等价于对任意都有;等等。这些都是恒成立问题。本题有另外一个解法就是利用函数的图象的対称轴的特殊性去解。我们山止弦函数的图象和性质知道函数在处取到最值，且图象的对称轴方程为。依照这个思路，由函数图象的i条对称轴方程为，可得，可解得。五、把不等式恒成立问题转化为函数图像问题例5若不
8、等式对于任意e都成立，求的取值范围.解
