关于.函数恒成立问题的解题

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1、专业技术资料分享恒成立问题二、恒成立问题解决的基本策略A、两个基本思想解决“恒成立问题”思路1：在上恒成立；思路2：在上恒成立．如何在区间上求函数的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数的最值．此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累．C、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型若原题可化为一次函数型，则

2、由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷．给定一次函数，若在内恒有，则等价于：；同理，若在内恒有，则等价于：．例3．对于满足的所有实数，求使不等式恒成立的的取值范围．解：原不等式转化为：在时恒成立，设，则在上恒大于0，故有：即，解得：；∴或，即(－∞,－1)∪(3,+∞)．2、二次函数型例4．若函数的定义域为，求实数的取值范围．解：由题意可知，当时，恒成立，①当且时，；此时，，适合；WORD文档下载可编辑专业技术资料分享②当时，有即有；综上所述，的定义域为时，．例5．已知函数，在上恒成立，求的取值范围

3、．分析：的函数图像都在轴及其上方，如右图所示：略解：，．变式1：若时，恒成立，求的取值范围．分析：要使时，恒成立，只需的最小值即可．解：，令在上的最小值为；①当，即时，；，而，不存在；②当，即时，，；又，；③当，即时，，；又，；综上所述，．变式2：若时，恒成立，求的取值范围．2—2法一：分析：题目中要证明在上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题．略解：，即在上成立；①，；WORD文档下载可编辑专业技术资料分享②；；3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，

4、其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解．运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于取值范围内的任何一个数都有：恒成立，则；若对于取值范围内的任何一个数，都有：恒成立，则．例6．已知三个不等式：①，②，③．要使同时满足①②的所有的值满足③，求的取值范围．略解：由①②得，要使同时满足①②的所有的值满足③，即不等式在上恒成立，即在上恒成立，又在上大于9；所以：．例7．函数是奇函数，且在上单调递增，又，若对

5、所有的都成立，求的取值范围．解：据奇函数关于原点对称，；又因为在是单调递增，所以；对所有的都成立；因此，只需大于或等于在上的最大值1，；又∵对所有的都成立，即关于的一次函数在上大于或等于0恒成立，即：．利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题．4、根据函数的奇偶性、周期性等性质WORD文档下载可编辑专业技术资料分享若函数是奇（偶）函数，则对一切定义域中的：（）恒成立；若函数的周期为，则对一切定义域中的：恒成立．5、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或

6、不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于填空题这种方法更显方便、快捷．例8．对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．分析：转化为求函数的最小值，画出此函数的图像即可求得的取值范围．解：令；在直角坐标系中画出图像如图所示，由图象可看出，要使对任意实数，不等式恒成立，只需；故实数的取值范围是．本题中若将“”改为“”；同样由图象可得．利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围．三、在恒

7、成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法．（一）换元引参，显露问题实质例9．对于所有实数，不等式：恒成立，求的取值范围．解：因为的值随着参数的变化而变化，若设，则上述问题实质是“当t为何值时，不等式恒成立”；这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于：求解关于的不等式组：；WORD文档下载可编辑专业技术资料分享解得，即有，易得．（二）分离参数，化归值域问题例10．若对于任意角总有成立，求的范围．解：此式是可分离变量型，由原不等

8、式得，又，则原不等式等价变形为恒成立．故必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值．由；即时，有最小值为0，故．（三）变更主元，简化解题过程例11．若对于，方程都有实根，求实根的范围．解：此题一般思路是先求出方程含参数的根，再由的范围来确定根的范围，但这样会遇到很多麻烦，若以为主元，则，由原方程知，得；又，即；解之得或．（四）图象解题，用好数形结合例12．设，若不等式恒成立，求的取值范围．解：若设，则表示为上半圆．设，为过