关于函数恒成立问题的解题策略

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1、关于恒成立问题的解题策略整理人：凌彬一、恒成立问题的基本类型在数学解题中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题．函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数；③某不等式的解为一切实数；④某表达式的值恒大于，等等┅恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查综合解题能力，是历届高考的热点之一．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶

2、性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图像．二、恒成立问题解决的基本策略A、两个基本思想解决“恒成立问题”思路1：在上恒成立；思路2：在上恒成立．如何在区间上求函数的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数的最值．此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累．B、赋值型——利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能

3、很快求得．例1．由等式；定义映射：，则：解：取，则，又由已知，所以．例2．如果函数的图像关于直线对称，那么解：取及，则，即．此法体现了数学中从特殊到一般的转化思想．9C、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷．给定一次函数，若在内恒有，则等价于：；同理，若在内恒有，则等价于：．例3．对于满足的所有实数，求使不等式恒成立的的取值范围．分析：在不等式中出现了两个字母：及，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数；显然可

4、将看作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于0恒成立的问题．解：原不等式转化为：在时恒成立，设，则在上恒大于0，故有：即，解得：；∴或，即(－∞,－1)∪(3,+∞)．此类题本质上是利用了一次函数在区间上的图像是一条线段，故只须保证该线段两端点均在轴上方（或下方）即可．2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用．（1）若二次函数大于0恒成立，则有且；（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解．例4

5、．若函数的定义域为，求实数的取值范围．分析：该题就转化为被开方数：在上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论．解：由题意可知，当时，恒成立，①当且时，；此时，，适合；9②当时，有即有；综上所述，的定义域为时，．例5．已知函数，在上恒成立，求的取值范围．分析：的函数图像都在轴及其上方，如右图所示：略解：，．变式1：若时，恒成立，求的取值范围．分析：要使时，恒成立，只需的最小值即可．解：，令在上的最小值为；①当，即时，；，而，不存在；②当，即时，，；又，；③当，即时，，；又，；综上所述，．变式2：若时，恒成立，求的取值范围

6、．2—2法一：分析：题目中要证明在上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题．略解：，即在上成立；①，；9②；；综上所述，．解法二：（运用根的分布）①当，即时，，，不存在；②当，即时，；∴，③当，即时，，；；综上所述．此题属于含参数二次函数，求最值时，轴动区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的，轴定区间动，方法一样．对于二次函数在上恒成立问题往往采用判别式法（如例4、例5），而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题．3、变量分

7、离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解．运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于取值范围内的任何一个数都有：恒成立，则；若对于取值范围内的任何一个数，都有：恒成立，则．例6．已知三个不等式：①，②，③．要使同时满足①②的所有的值满足③，求的取值范围．略解：由①②得，要使同时满足①②的所有的值满足③，即不等式在上恒成立，即在上恒成立，又在上大于9；所以：．9例7．函数是奇函数，

8、且在上单调递增，又，若对所有的都成立，求的取值范围．解：据奇函数关于原点对称，；又因为在是单调递增，所以；对所有的都成立；因此，只需大于或等于在上的最大值1，；又∵对所有的都成立，即关于的一次函数在上大于或等于0恒成立，即：．利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题．4、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数是奇