恒成立问题的解题思想与策略

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1、恒成立问题的解题思想与策略嵊泗县嵊泗中学张海红恒成立问题把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，是历年高考试题中的“常客”，解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。学生遇到这类问题时往往迷惑不解，难以找到解题的切入口。本文笔者通过对其中一些典型例题的剖析，来介绍恒成立问题的几种常见的解题思想与策略。一、变换主元法变量和常量是相对的，一般地，将已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量，从而解决问题的方法，叫变换主元法。例1．对任意，不等式恒成

2、立，求的取值范围。解析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。令，则原问题转化为在上恒成立。当时，可得，不合题意。当时，应有解得。的取值范围为点评：一般地，对于一次函数，恒有的充要条件为恒成立的充要条件为。二、二次函数法二次函数法是根据题目要求，构造二次函数。根据二次函数图象的性质，第6页共6页利用判别式、韦达定理以及根的分布知识解决问题的一种方法。例2．已知函数，在上恒成立，求的取值范围。解析:由题意得：的函数图像都在轴及其上方，如图：。若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布或判别式法解决问题。变式1：

3、若时，恒成立，求的取值范围。解析：要使时，恒成立，只需的最小值即可。，令在上的最小值为。（1）当，即时，又不存在（2）当，即时，又（3）当，即时，又综上所述，.变式2：若时，恒成立，求的取值范围。解法一（判别式法）：题目中要证明在上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题。解：令，即在上恒成立。（1）第6页共6页（2）综上所述，.解法二：（根的分布法）（1）当，即时，不存在（2）当，即时，（3）当，即时，，综上所述.评注：一般地，对于二次函数在R上恒成立问题往往采用判别式法，有对恒成立;对恒成立而对于二次函数在某一区间上恒成立问

4、题，往往转化为求函数在此区间上的最值问题。求最值时，对轴动区间定、轴定区间动的情形，可对轴与区间的位置进行分类讨论。三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围的方法，称为分离变量法。例3．已知函数,当时，恒成立，求实数的取值范围。解析：对恒成立对恒成立。第6页共6页（1）当时，3>0恒成立，;（2）当恒成立，只需，而当且仅当,即时，，所以.综上，对恒成立时，。点评：分离变量，首先变量应是易于分离的，具体来说，在条件给出的区间是正数（或负数）区间的前提下，可以考虑分离变量法，否则由于变量的符号不

5、能确定，分类讨论反而较繁。适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。一般地有：（1）恒成立；（2）恒成立。该题型的本质也是求函数的最值。四、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。例4．若不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。解析：本题中既有二次函数，又有对数函数，这种类型的不等式对学生来说直接求解是很困难的，所以一般来说采用数形结合的方法。将不等式转化为在内恒成立，因此可以考虑画出函数在的图像，结合题意确定的范围，再作出函数的图像，然后观察当为何值时，恒在

6、图像的下方。第6页共6页由题意知：在内恒成立。在同一坐标系内分别作出和的图象因为时，的图象位于函数的图象上方，当>1时，显然不成立。故0<<1①由图可知：的图象必须过点或在这个点的上方，则：∴②由①，②知：∴的取值范围为评注：对一些不等式两边的式子，当函数模型较明显、函数图象较容易作出时，可以考虑作出函数图象，用函数图象的直观性解决恒成立的问题，我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：（1）函数图象恒在函数图象上方；（2）函数图象恒在函数图象下方。通过典例分析，我们领略了解决恒成立问题的多种常见求解方法，事实上，这些方法都不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考

7、虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决．但是，不管哪一种解法，都渗透了数学最本质的思想—等价转化，都化归到求函数的最值问题。（责编：俞剑波）参考文献：1.杨作义：《含参不等式恒成立问题的求解策略》，《中学生天地·高中学习报》，2007(11)。2.周顺珍、张志平：《不等式恒成立的问题的求解策略，《考试（高考数学版）》，第6页共6页2008(6)。3.刘存稳：《函数中恒成立问题解题策略》，《数学学习与研究·教研版》，2008(4)。4．韩长洲：《浅说“恒成立问题”类型及解题策略》，《考试周刊》，2010年第34期。5.杨瑞展：《含参数不等式成