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《“恒成立问题”与“有解问题”的区分及解题策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、“恒成立问题”与“有解问题”的区分及解题策略厦门一小邱春来1.恒成立问题与有解问题的区分（1）两者在“量词”上有区别恒成立中使用的量词是全称量词，如“0、任意、所有、全部、均、恒、总、都”等；而有解问题中使用的量词是特称量词，如“入存在、有、至少一个、有解”等。（2）两者在在等价转换上有区别a>fW恒成立oa>/（x）max；a/(X)min；6/6/
2、“恒成立问题”中一•般有2个以上字母,我们把待求范围的那个字母定义为“参数”，把已知范围的字母定义为“变量”。法1（分离参数法），即先把参数（所求的那个字母）分离出来，然后利用下面原理a>/(x)恒成立oa>/(x)max;a<于(兀)恒成立oav/(x)min法2、（构造函数法）即构造关于变量的函数，利用函数知识和方法解决°例1、函数.f（兀）=*+2*+",兀w[1,+00）对任意兀w[l,+oo）,/（x）>0恒成立，求d的取值范围。解析：这题中“d”是参数，“兀”是变量，显然“d”很好分离，所以采取“分离参数法”对兀w[
3、l,+oo）,/（%）=“+2x+°〉°恒成、丫，只需°>一兀2一2兀在兀丘[l,+oo）时恒成立，考虑二次函数g（x）=-X2-2x在"[1,4-00）的最大值gmaxO）=g（l）=-3,得d>-3例2、若不等式2x-l>m（x2-l）对满足
4、m
5、<2的所有加都成立，求x的取值范围。解析：这题小“兀”是参数，“加”是变量，显然“兀”不好分离，所以采取“构造构造函数法”构造关丁”的一次函数/（m）=m（x2-1）-（2兀-1）,所以对满足网52的加,/（/n）<0恒成立,屮（一2）<0J-2（^-l）-（2x-l）<0解得:土
6、近<乂<4[/（2）<0[2（x2-1）-（2x-1）<0222.2“有解问题”的解题策略“他）/（b）<0”是/（兀）在（a,可内有零点的充分非必要条件,只有/（力在（“）上单调时是充要条件，所以在解“有解问题”时，首先看于⑴在是否单调，若单调，则/（X）在⑺小）内有零点可以得到f（a）/（6）<0,若不明确于（兀）在@劝的单调性，则采用“分离参数法”，即先把参数（待求范围的那个字母）分离出来，然后利用下列原理。〉门兀）有解0。〉/（叽；。5兀）有解0。
7、,2)有解，求实数d的取值范围解析：这题屮“a”是参数宀”是变量，显然/(x)=-x2+x+c/=O在(1,2)单调所以，方程-x2+x+a=0在(1,2)有解o/(l)J(2)v0解得aw(0,2)例如4、已知方程-x2+x+a=0在［-1,1］有解有解，求实数。的取值范围解析：这题中是参数，“兀”是变量，/(%)=-兀2+“心0在不单调，而“/很好分离，所以采取“分离参数法”，本题0。=兀2_兀有解范围(/_兀)范围是［-1,2］,所以a2］441.“多变量恒成立问题”与“多变量有解问题”的解题策略：可以对变量逐一考虑，即先
8、考虑把一个变量当作主元，把另外变量当作参数，在分析完一个变量后再考虑剩下的变量。例如5、“2004•福建卷”已知f(x)二孕工(xGR)在区间［―1,1］上是增函数,实数a的值组成x2+2的集合A；设关于x的方程f(x)二丄的两个非零实根为xi、&•试问：是否存在实数m,使得不等式m2+tm+lMXi—X2I对任意aEA及tW［―1,1］恒成立?解析：本题中“m”是参数，“兀”与“/”均是变量，先把“t”当作参数，则n?+tm+l为参数,所以m2+tm+l^
9、xi—x2
10、对任意a^A恒成立+-^
11、niax，容易求A二{a
12、—lW
13、aWl}而Xi—X21二J(兀］+七)2—4兀］尤2二Jd彳+8.*•*—1Wa.W1,Xi~X2=yl+8W3.所以m2+tm+1^3对任意te［-l,1］恒成立,此时变量只剩“严，考察“严的函数设g(t)=m2+tm—2=mt+(m2—2)是关于t的一次函数，观察一次函数图形知道g(—l)=m2~m—2^0,g(l)=m24-m—2^0解得mM2或mW—2。2.一些较为隐蔽的“恒成立问题、有解问题”(1)一些较为隐蔽的“恒成立问题”①出现类似“在区间D上单调递增(递减)”的有关问题，其求解策略利用以卞结论：/(%)在D上单
14、调递增，则.厂(X)20在D上恒成立于(兀)在D上单调递减，则fx)<0在D上恒成立②定值问题，其求解策略利用以下结论：f(x)=anxn+・・・+绚++a。为定值oan=an_{=...=%=0例如6、在半面直角坐标系xOy中,过定点C(0,p)作直线与抛物
