恒成立与有解问题.doc

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1、学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型恒成立与有解问题授课日期及时段教学内容恒成立问题【知识梳理】函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.（一）恒成立问题基本类型1：先分离参数，再求函数的最值（或值域）若不等式在区间上恒成立,则等价于:

2、在区间上,函数若不等式在区间上恒成立,则等价于:在区间上,函数例1：（1）设实数满足，若恒成立，则的取值范围是______（2）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_____（3）的取值范围______（4）的取值范围______.例2．(07上海)已知函数（1）判断函数的奇偶性；（2）若在区间是增函数，求实数的取值范围。例3：（08年上海）（本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分.已知函数f(x)=.（1）若f(x)＝2，求x的值；（2）若对于t∈［1，2］恒成立，求实数m的取值范围.变式训练：函数是奇函数，且在上单调递增，又，若对所有的都成立，求的取值范围.（

3、二）恒成立问题基本类型2：对一些不能把参数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解（数形结合）例4：已知，求实数a的取值范围。变式训练：若对任意R,不等式≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（）(A)a＜-1(B)≤1(C)＜1（D）a≥1（三）恒成立问题基本类型3：一次函数型——利用单调性求解给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于ⅰ），或ⅱ）可合并定成同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有nmoxynmoxy例5．对于满足

4、a

5、2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2

6、a+x恒成立的x的取值范围.变式训练：若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_____（四）恒成立问题基本类型4：二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解，而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题对于二次函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即f(x)>0恒成立；f(x)<0恒成立.若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解，往往转化为求函数在此区间上的最值问题更简捷。例6．（1）若函数的定义域为R，求实数的取值范围.（2）若函数的值域为R，求实数的取

7、值范围.例7：已知函数，在R上恒成立，求的取值范围.变式训练1：若时，恒成立，求的取值范围.变式训练2：若时，恒成立，求的取值范围.变式训练3：函数（1）是否存在实数a使得时，恒成立（2是否存在实数a使得时，恒成立例8：定义在R上的单调函数满足且对任意的，都有（1)求证是奇函数（2)若对任意的恒成立，求实数k的取值范围【巩固练习】1、若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围2、已知函数在上，恒成立，则实数a的取值范围3、不等式在上恒成立，则实数a的取值范围4、已知函数，若时，恒成立，则实数b的取值范围5、函数在区间上恒有，则实数a的取值范围6、关于x的不等式，当0≤x≤1时恒成立，

8、则实数a的取值范围为.7、若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(０，］成立，则a的最小值是(　).　　Ａ.０　　　　Ｂ.－２　　　　Ｃ.－　　　　Ｄ.－３8、如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a=（）.A.1B.-1C.D.-.9、对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；10、已知函数，．（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．方程、不等式有解问题（存在性问题）（一）关于方程的实数解的问题方程有解的问题实际上是求函数零点的问题，判断方程有几个解的问题实际上就是判断函数有几个零点的问题，这类问题通常有以下处理

9、办法：一、直接法通过因式分解或求根公式直接求方程的根，此法一般适合于含有一元二次（三次）的整式函数，或由此组合的分式函数。例1函数的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3二、图象法对于不能用因式分解或求根公式直接求解的方程，可以先转化为方程，再在同一坐标系中分别画出函数和的图象，两个图象交点的横坐标就是原函数的零点，有几个交点原函数就有几个零点。此法一般适合于函数解析式中既含有二次函数，又含有指数函数、对数函数或三角函数的函数类型。例2、方程的实数解的个数是例3、设函