恒成立问题与有解问题的区别.doc

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1、恒成立问题与有解问题的区别恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年的高考试题中，越来越受到高考命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。本文就恒成立与有解问题做一比较。1、恒成立问题1.1恒成立问题与一次函数联系给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有例1、对于满足

2、p

3、2的所有实数p,求使

4、不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：即解得：∴x<-1或x>3.1.2恒成立问题与二次函数联系若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系

5、数的分布知识求解。例2、设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+)时恒大于0的问题。解：设F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)当=4（a-1)(a+2)<0时，即-2

6、变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例3、已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x<-a+5要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+

7、4sinx+1=-2(sinx-1)2+33,∴-a+5>3即>a+2上式等价于或解得。注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。2、有解问题2.1有解问题与二次不等式联系例4、不等式有解，求的取值范围。解：不等式有解有解有解，所以。2.2有解问题与绝对值不等式联系例5、对于不等式，存在实数，使此不等式成立的实数的集合是；对于任意，使此不等式恒成立的实数的集合为，求集合．解：由又有解，所以．令恒成立．所以．2.3有解问题与导数联系例6、（06年湖北）设x

8、=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e,xR的一个极值点.(1)求a与b的关系（用a表示b），并求f(x)的的单调区间；（2）设a>0，g(x)=，若存在S1，S2[0，4]，使得

9、f(S1)-g(S2)

10、<1成立，求a的取值范围.解析：（1），由=0得b=-2a-3.故f(x)=(x2+ax-2a-3)因为=-[x2+(a-2)x-3a-3]=-(x-3)(x+a+1).由=0得：x1=3，x2==-a-1.由于x=3是f(x)的极值点，故x1≠x2，即a≠-4.当a<-4时，x1

11、减函数.当a>-4时，x1>x2，故f(x)在上为减函数，在[-a-1，3]上为增函数，在上为减函数.(2)由题意，存在S1，S2[0，4]，使得

12、f(S1)-g(S2)

13、<1成立，即不等式

14、f(S1)-g(S2)

15、<1在S1，S2[0，4]上有解.于是问题转化为

16、f(S1)-g(S2)

17、<1，由于两个不同自变量取值的任意性，因此首先要求出f(S1)和g(S2)在[0，4]上值域.因为a>0，则-a-1<0，由（1）知：f(x)在[0，3]递增；在[3，4]递减.故f(x)在[0，4]上的值域为[min{f(0),f(4)},f(3)]=[-(2a+3

18、)e,a+6]，而g(x)=在[0，4]上显然为增函数，其值域因为故

19、f(S1)-g(S2)

20、