有解与恒成立问题专题.doc

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1、“有解”与“恒成立”专题不等式历来是高考和竞赛的热点，不等式“有解”与“恒成立”是很容易混淆的问题．下面给出一组命题，说明两者之间的区别．（1）恒成立；（2）恒成立；（3）有解；（4）有解．例1　已知，函数在上有意义，求实数的取值范围．例2　不等式有解，求的取值范围．例3　对于不等式，存在实数，使此不等式成立的实数的集合是；对于任意，使此不等式恒成立的实数的集合为，求集合．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象等。1.一次函数型（多为变换主元法）给定一次函数y

2、=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有nmoxynmoxy例1．已知对于任意的a∈[-1,1]，函数f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0恒成立，求x的取值范围.点评对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。例2.对于满足

3、p

4、2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。例3.若不等式对满足的所有都成立，

5、求x的范围。例4．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。2.二次函数型类型1：设，（1）上恒成立；（2）上恒成立。类型2：设（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，则有若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例1．已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。。例2.若不等式的解集是R，求m的范围。例3．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。例4.已知，若

6、恒成立，求a的取值范围.3.最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）恒成立2）恒成立例1.（1）求使不等式恒成立的实数a的范围。（2）求使不等式恒成立的实数a的范围。例2．在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。例3．已知，当时，恒成立，求实数的取值范围。例4．函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。例5.已知，若恒成立，求a的取值范围.例6设函数．(Ⅰ)求的最小值；(Ⅱ)若对恒成立，求实数的取值范围．4.变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量

7、分别置于等号或不等号的两边，从而问题转化为求函数的最值问题，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）恒成立2）恒成立例1.已知对于满足等式x2+(y-1)2=1的一切实数x、y,不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是（）A(-,0]B[,+)C[-1,+)D[1-,+)例2.已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围。例3．已知函数时恒成立，求实数的取值范围。例4已知函数，若在区间上，的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围.变式若本题中将改为，其余条件不变，则也可以

8、用变量分离法解.10．（2010天津理数）（16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是.5．数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1）函数图象恒在函数图象上方；2）函数图象恒在函数图象下上方。例1．若关于的不等式

9、x+3

10、+

11、x-1

12、>a恒成立,则a的取值范围是（）,Aa≤4Ba<4Ca>4Da≥4例2．当x(1,2)时，不等式(x-1)2

13、xyO例4设函数,,若恒有成立,试求实数a的取值范围.例5、已知关于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a的取值范围。分析：方程可转化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x2+20x=8x-6a-3>0,注意到若将等号两边看成是二次函数y=x2+20x及一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。例6．已知，求实数a的取值范围。例7．若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式恒成立，则c的取值范围是（）A、B、C、D、6．根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶

14、)函数，则对一切定义域中