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1、浅谈高中含参不等式恒成立问题褚丹阳山东省垦利第一中学257500摘要：近年来全国各地高考数学试题中“含参不等式恒成立问题”的有关试题非常普遍，这类问题把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的各种数学思想对锻炼学牛的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。木文就结合实例初步谈谈如何处理高中含参不等式恒成立问题。关键词：不等式恒成立参数范围判别式最值分离常数一、若所求问题可转化为二次不等式可考虑用以下方式求解：1.若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)>0(或V0)在R
2、上恒成立，则有(或)。2.若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)>0(或VO)在指定区间上恒成立，可以利用闭区间上的二次函数求最值或利用韦达定理以及根的分布等知识求解。例1：已知不等式mx2+mx+4>0对x∈R恒成立，求实数m的取值范围。分析：此不等式看上去像二次函数在R上恒成立，但是要注意对二次项系数的讨论。解析：令f(x)=mx2+mx+4,当m二0时，f(x)二4>0恒成立；当m≠O时，由题意知,即,解得OVm<0。综上所述：m的取值范围为［0,16)o二、其它函数：1.转换求函数的最值(1)若不等式aVf(x)在区间D上恒成立侧等价于在区间D上的
3、af(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上的b>f(x)maxf(x)上界小于bo例2：(07年重庆卷理20)已知函数f(x)=ax4lnx+bx4-c(x>0)在x=l处取得极值・3・c,其中a、b为常数。(1)试确定a、b的值;(2)讨论f(x)函数的单调区间;(3)若对任意x>0,不等式f(x)≥-2c2恒成立，求c的取值范围。分析:f(x)≥-2c2恒成立，即f(x)min≥-2c2,要解决此题关键是求f(x)mino解析：(1)(2)略。(3)由(2)知I,f(x)在处取得极小值f(l)=-3-c,此
4、极小值也是最小值。要使f(x)≥-2c2(x>0)恒成立，只需-3-c≥-2c2,即2c2-c-3≥0,从而(2c-3)(c+l)≥0o解得c≥或c≤-lo∴c的取值范围为(-∞,-l]∪[”+∞)。2•分离参数法(1)将参数与变量分离，即化为g(a)≥f(x)(或g(a)≤f(x))恒成立的形式。(2)求f(x)在x∈D上的最大(或最小)值。(3)解不等式g(a)≥f(x)max(或g(a)≤f(x)min),得a的取值范围。例3：(07年山东卷文15)当x∈
5、(l,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是。解析：当x∈(1,2)吋，由x2+mx+4<0得：。令f(x)=二x+,则易知f(x)在(1,2)上是减函数所以x∈[l,2]吋，f(x)max=f(1)=5,贝0(-)min>-5,∴m≤-5o1.转换成函数图象问题(1)若不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方。(2)若不等式f(x)6、x
7、≥ax恒成立,
8、则实数a的取值范围是O(A)a<-l(B)
9、a
10、≤l(C)
11、a
12、13、x
14、≥ax恒成立。则由一次函数性质及图像知le;a≤l,W
15、a
16、≤lo1.变“辅元”为“主元”某些含参不等式恒成立问题，在分离参数时会遇到讨论的麻烦或者即使容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度，即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得岀奇制胜的效果。例5：已知函数f(x)=x3-x2+(a+1)x+1,其中a为实数。若不等式f'(x)>x2-x-a+l对任意a∈(0,+∞
17、)都成立,求实数x的取值范围。解析：由题设知ax2-3x+(a+1)>x2-x-a+1对a∈(0,+∞)都成立,即a(x2+2)-x2-2x>0对a∈(0,+∞)都成立。设g(a)=(x2+2)a-x2-2x(a∈R),贝！Jg(a)是一个以a为自变量的一次函数。Vx2+2>0恒成立,则对a∈R,g(a)为R上的单调递增函数。∴对a∈(0,
