二次函数在求解几何最值问题中的应用

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1、二次函数在求解几何最值问题中的应用　　二次函数的应用是初中数学的重点和难点，通常把它与最值问题联系在一起进行考查.下面以中考题为例说明二次函数在几何最值问题中的应用.　　一、求线段长的最值　　例1（2012年江苏扬州）如图1，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是.　　图1　　解析：设AC=x，则BC=2-x.　　∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，　　∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=■x，CE=■（2-x）.　　∴∠DCE=90°.　　∴DE2=DC2+CE2=（■x）2

2、+[■?（2-x）]2=x2-2x+2=（x-1）2+1.　　∴当x=1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1.　　例2（2012年宁夏）如图2，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.　　（1）连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；　　（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式.当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？　　（3）若PE∥BD，试求出此时BP的长.　　图2　　分析：（1）由△APE≌△ADE，可得AP=AD=3.在Rt△ABP中，运用勾股定理即

3、可求得BP的长.　　（2）由AP⊥PE，得Rt△ABP∽Rt△PCE.根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式，然后化为顶点式即可求得当x=■时，y的值最大，最大值是■.　　（3）由PE∥BD，得△CPE∽△CBD.根据相似三角形的对应边成比例可列式求得BP的长.　　解：（1）∵△APE≌△ADE，∴AP=AD=3.　　在Rt△ABP中，AB=2，∴BP=■=■=■.　　（2）∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽Rt△PCE.　　∴■=■，即■=■.　　∴y=-■x2+■x.　　∵y=-■x2+■x=-■（x-■）2+■，　　∴当x=■时，y的值最大，最大值是■.　　（3）

4、设BP=x，由（2）得CE=-■x2+■x.　　∵PE∥BD，∴△CPE∽△CBD.　　∴■=■，即■=■.　　将上式化简，得3x2-13x+12=0.解得x1=■或x2=3（不合题意，舍去）.　　∴当PE∥BD时，BP=■.　　二、求线段积的最值　　例3（2012年江苏苏州）如图3，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2

5、与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l.又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行.根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两个三角形相似可得出△PCA与△APB相似.由相似得比例式，将PC及直径AB的长代入比例式求出PA的长.在Rt△APB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长.　　（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点.再由有三个角为直角的四边形为矩形得到四边形OACE为矩形.根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2.用PC-EC的

6、长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再用PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值.　　解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l.　　又∵PC⊥l，∴AB∥PC.∴∠CPA=∠PAB.　　∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°.　　∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB.　　∴■=■，即PA2=PC?AB.　　∵PC=x=■，AB=4，∴PA=■=■.　　∴在Rt△APB中，由勾股定理得PB=■=■=■.　　（2）过O作OE⊥PD，垂足为E.　　∵

7、PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED.　　在矩形OECA中，CE=OA=2，　　∴PE=ED=x-2.　　∴CD=PC-PD=x-2（x-2）=4-x.　　∴PD?CD=2（x-2）（4-x）=-2x2+12x-16=-2（x-3）2+2.　　∵2