拉格朗日乘数法在求解多元最值问题中的应用.pdf

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1、CMYK试题研究>解题技巧数学教学通讯（中等教育）投稿邮箱：sxjk@vip.163.com拉格朗日乘数法在求解多元最值问题中的应用孙军波蔡小雄浙江温岭中学317500浙江杭州第十一中学310014摘要：本文从一道二元最值问题入手，深入思考研究一般性的解法，引进高等数学的拉格朗日乘数法，并￡中通过一些典型例题简要介绍拉格朗日乘数法的运用，为学生解决问题提供一个新的思路．等教育关键词：拉格朗日乘数法；多元最值；初等应用多元函数的最值问题是活跃在高R），而且还需满足条件“3x2－xy+3y2=其实也就是求L（x，y）的极值点，两者的考、高校自主招生以及各类数学竞赛中2

2、0”，这类附有约束条件的极值问题其极值是等价的，且与λ无关，至于为什么的一项重要内容．由于该内容大都涉及实就是条件极值问题．增加一个λ，其实就相当于用待定系数函数、不等式、线性规划、解析几何等综条件极值问题的一般形式是在条法来确定这个拉格朗日函数，求偏导数合知识，问题情境新颖，蕴涵背景深刻，件组φk（x1，x2，…，xn）=0，k=1，2，…，m的目的是为了求出函数的可能极值点．求解方法灵活，因此，考生面对该类问（m

3、f（x，y）+λφ（x，y）=通过一些典型例题简要介绍拉格朗日在高中阶段遇到这类极值问题时，8x2+23y2+λ（3x2－xy+3y2－20），乘数法在求解该类问题中的巧妙运用．我们常常借助换元、消元，使用判别式、由不等式等方法来求解，主要解决三元以襛L（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y）=0，襛xxx内的问题．然而，根据条件组（1）有些问襛襛襛襛小题引路襛Ly（x，y，λ）=fy（x，y）+λφy（x，y）=0，圯题还不能靠上述方法解决．而且，有些襛襛例1%（2012浙江重点中学协作体高襛襛L（x，y，λ）=φ（x，y）=0襛λ问题构思巧妙，解题技巧要求

4、高．下面三3月调研）2222圯（x，y）（x，y）若3x－xy+3y=20，则8x+23y我们从高等数学中引入一种求解条件襛fxfy襛－λ==，襛的最大值是________．圯φx（x，y）φy（x，y）即可解得极值极值问题的方法———拉格朗日乘数法襛襛222襛φ（x，y）=0分析：注意到160－8x－23y=8（3x－襛，来尝试解决这类问题．xy+3y2）－8x2－23y2=（4x－y）2≥0，点．所以8x2+23y2最大值为160．由f（x，y）=8x2+23y2，φ（x，y）=3x2－xy+评析：本解法计算简单，但构思巧襛方法介绍3y2－20，拉格朗日乘数法

5、是高等数学中求妙，不易入手．因此，有必要考虑研究其fx（x，y）fy（x，y）16x由=圯=一般情形，问题的实质是多元的条件极多元函数条件极值的重要方法，方法程φx（x，y）φy（x，y）6x－y值问题，可以考虑选用拉格朗日乘数法序性强，较易掌握．但由于涉及求多元46y22圯8x－23y+90xy=0，使思路程序化．函数的偏微分，需将该法加以改进，方－x+6y便学生掌握．将这种方法初等化，首先231解得x=－y或x=y，代入φ（x，y）=需要理解为什么要构造拉格朗日函数，24襛问题拓展以f，φ皆为二元函数这一简单情形入手0可得一般所讨论的极值问题，其极值点来说明一

6、下，其实就是将条件极值问题襛80襛320襛2襛2襛y=，襛y=，的搜索范围是目标函数的定义域，但是转化为无条件极值问题，构造的拉格朗襛1645襛47襛襛襛圯或圯还有很多极值问题，如例1中的变量x，y日函数L（x，y）=f（x，y）+λφ（x，y），其中襛2襛襛223×20襛220襛x=襛x=，不仅要符合它们自身的要求（x∈R，y∈襛襛1645襛襛47φ（x，y）=0，不难发现求f（x，y）的极值点，襛襛48CMYK投稿邮箱：sxjk@vip.163.com数学教学通讯（中等教育）试题研究>解题技巧3681f（a，b，c）30a2－45a430b2－45b4c所以f

7、（x，y）=或160，根据函数x－圯==7y2xφ（a，b，c）11c，解得x=y，代入φ（x，y）=0可得性质，可知8x2+23y2的最大值是160．130c2－45c4．圯11圯圯x=－，圯2圯17因为a，b，c∈（0，1），所以可得a=b=圯所以f（x，y）=．根据函数性质襛小试牛刀圯圯141圯y=－，c，代入φ（a，b，c）=0，可得a=b=c=，例2（1993年全国联赛试题）实数圯圯2圯3x，y满足4x2－5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则有xy+1的最小值为17，因此，选D．111所以f（a，b，c）=10∈++3－11xy4333333+的值为

8、_____