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1、多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法小结第八节多元函数的极值与拉格朗日乘数法1极大值和极小值的定义和一元函数一样，极值是局部概念定义点P0为函数的极大值点.类似可定义极小值点和极小值.设在点P0的某个空心邻域,为极大值.则称一、多元函数的极值函数的极大值与极小值统称为函数的极大值点与极小值点统称为极值.极值点.2例例例在(0,0)点取极小值.在(0,0)点取极大值.(也是最大值).在(0,0)点无极值.椭圆抛物面下半圆锥面马鞍面函数函数(也是最小值).函数3二元函数极值的必要条件定理则推广如果三元函数具有偏导数,则它在有极值的必要条件:一阶偏导数同时为零的点驻点:41、驻点具有偏导的极值
2、点如,驻点,但不是极值点.说明例但(0,0)是函数的极大值点.也可能是极值点.在点(0,0)处的偏导数不存在,2、偏导数不存在的点，5二元函数极值的充分条件定理有二阶连续偏导数,(1)是极值,为极大值,为极小值;(2)不是极值;(3)可能是极值,也可能不是极值.则6求函数极值的一般步骤:第一步解方程组求出实数解,得驻点.第二步对于每一个驻点求出二阶偏导数的值第三步定出的符号,再判定是否是极值.7例解在点(0,0)处,在点(a,a)处,的极值.不是极值;是极大值。①解方程组②求的符号③定出8解求由方程将方程两边分别对x,y求偏导数,由函数取极值的必要条件,令得驻点为法1代入原方程,练习9f(1,
3、－1)是极值.将上方程组再分别对x,y求偏导数,在驻点代入方程组，得10为极小值;为极大值.f(1,－1)是极值.11求由方程法2初等配方法方程可变形为根号中的极大值为4,为极值.为极大值,为极小值.12最大者即为最大值,最小者即为最小值.求二元连续函数在有界闭域D内的最值的一般步骤:①求函数在D内的所有嫌疑点②求函数在D的边界上的嫌疑点③将所有嫌疑点的函数值相互比较,二、多元函数的最值及其应用13解(1)求函数在D内的驻点（嫌疑点）由于所以函数在D内无极值点.(2)求函数在D边界上的嫌疑点(最值只能在边界上)围成的三角形闭域D上的最大(小)值.例D14①在边界线②在边界线最小,又在端点(1,
4、0)处,最大.有驻点函数值有单调上升.D15③在边界线所以,最值在端点处.函数单调下降,(3)比较D为最小值;为最大值.16解练习1718解练习此时的最大值与最小值.驻点得上在求4:94),(2222£+++=yxDyxyxf19对自变量有约束条件的极值.条件极值三、多元函数的条件极值求条件极值的方法①代入法②拉格朗日乘数法20解例已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？设长方体的长、宽、高分别为由题意长方体的体积为(1)代入(1)式(目标函数)(约束条件)21已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？且长方体体积一定有最大值,长方体体
5、积最大.故当的长、宽、高都为6时,由于V在D内只有一个驻点,22上例的条件极值问题,但并不是所有情况下都能这样做，更多时候拉格朗日乘数法说明是通过将约束条件代入目标函数中求解;一般方法——用到的是下面要介绍的，解决条件极值问题的23在条件求函数下的可能极值点,先构造拉格朗日函数令解出其中就是可能的极值点的坐标.实际问题中,可根据问题本身来判定所求点是否为极值点.Lagrange(拉格朗日)乘数法24推广:约束条件多于一个的情况.自变量多于两个，目标函数约束条件例拉格朗日函数25令满足方程的是可能的极值点的坐标.26解则27解为所求切点坐标,令则的切平面方程为在第一卦限内作椭球面的使切平面与三个
6、坐标面所围成的例切平面,四面体体积最小,求切点坐标.28目标函数该切平面在三个轴上的截距各为化简为四面体的体积约束条件29约束条件目标函数令可得为简化计算,令30可得所以当切点坐标为四面体的体积最小目标函数因为最小的四面体体积存在,唯一解31练习解为此作拉格朗日乘函数:上的最大值与最小值.在圆内的可能的极值点;在圆上的最大、最小值.9)2()2(2222£-+-+=yxyxz在圆求函数32最大值为最小值为]9)2()2[(),(2222--+-++=yxyxyxLl22yxz+=函数上，在圆9)2()2(22£-+-yx33解为简化计算,令是曲面上的点,它与已知点的距离为目标函数约束条件设练习
7、34(1)(2)(3)(4)35由于最短距离存在，得唯一驻点36例解拉格朗日乘数法.法137得38即得唯一驻点根据题意距离的最小值一定存在,且有故必在取得最小值.唯一驻点,39法2为旋转抛物面上任一点,为平面上任一点.由两点间距离公式有令40设P(x,y,z)为旋转抛物面法向量上的任一点.法341多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值四、小结42作业习题8-8(
