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1、多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法小结思考题作业第八节多元函数的极值与拉格朗日乘数法第八章多元函数微分法及其应用1一、多元函数的极值和最值1.极大值和极小值的定义一元函数的极值的定义:是在一点附近将函数值比大小.定义点P0为函数的极大值点.类似可定义极小值点和极小值.设在点P0的某个邻域,为极大值.则称多元函数的极值与拉格朗日乘数法2注函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值点与极小值点统称为函数的多元函数的极值也是局部的,一般来说:极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.有时,极值.极值点.内的值比较.是与P0的邻域极小
2、值可能比极大值还大.多元函数的极值与拉格朗日乘数法3例例例函数存在极值,在(0,0)点取极小值.在(0,0)点取极大值.(也是最大值).在(0,0)点无极值.椭圆抛物面下半个圆锥面马鞍面在简单的情形下是容易判断的.函数函数(也是最小值).函数多元函数的极值与拉格朗日乘数法42.极值的必要条件证定理1(必要条件)则它在该点的偏导数必然为零:有极大值,不妨设都有多元函数的极值与拉格朗日乘数法说明一元函数有极大值,必有类似地可证5推广如果三元函数具有偏导数,则它在有极值的必要条件为多元函数的极值与拉格朗日乘数法均称为函数的驻点极值点仿照一元函数,凡能使
3、一阶偏导数同时为零的点,驻点.如何判定一个驻点是否为极值点如,驻点,但不是极值点.注63.极值的充分条件定理2(充分条件)的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下:(1)有极值,有极大值,有极小值;(2)没有极值;(3)可能有极值,也可能无极值.多元函数的极值与拉格朗日乘数法7求函数极值的一般步骤:第一步解方程组求出实数解,得驻点.第二步对于每一个驻点求出二阶偏导数的值第三步定出的符号,再判定是否是极值.多元函数的极值与拉格朗日乘数法8例解又在点(0,0)处,在点(a,a)处,故故即的极值.在(0,0)无极值;在(a,a)
4、有极大值,多元函数的极值与拉格朗日乘数法9解练习求由方程将方程两边分别对x,y求偏导数,由函数取极值的必要条件知,驻点为将上方程组再分别对x,y求偏导数,多元函数的极值与拉格朗日乘数法法一10故函数在P有极值.代入原方程,为极小值;为极大值.多元函数的极值与拉格朗日乘数法所以所以11求由方程多元函数的极值与拉格朗日乘数法解练习法二配方法方程可变形为于是显然,根号中的极大值为4,※由※可知,为极值.即为极大值,为极小值.12取得.然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,如:函数不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值.在研究函数
5、的极值时,除研究函数的驻点外,还应研究偏导数不存在的点.注由极值的必要条件知,极值只可能在驻点处但也可能是极值点.在点(0,0)处的偏导数多元函数的极值与拉格朗日乘数法13多元函数的极值与拉格朗日乘数法2003年考研数学(一),4分选择题已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,则(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.14其中最大者即为最大值,与一元函数相类似,可利用函数的极值来
6、求函数的最大值和最小值.4.多元函数的最值求最值的一般方法最小者即为最小值.将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,多元函数的极值与拉格朗日乘数法15解(1)求函数在D内的驻点由于所以函数在D内无极值.(2)求函数在D边界上的最值(现最值只能在边界上)围成的三角形闭域D上的最大(小)值.例多元函数的极值与拉格朗日乘数法D16＊在边界线＊在边界线由于最小,由于又在端点(1,0)处,所以,最大.有驻点函数值有单调上升.多元函数的极值与拉格朗日乘数法D17＊在边界线所以,最值在端点处.由于函数单调下降,(3)比较多元函数
7、的极值与拉格朗日乘数法D18解练习此时的最大值与最小值.驻点得多元函数的极值与拉格朗日乘数法上在求4:94),(2222£+++=yxDyxyxf19对自变量有附加条件的极值.其他条件.无条件极值对自变量除了限制在定义域内外,并无条件极值多元函数的极值与拉格朗日乘数法二、条件极值拉格朗日乘数法20解例已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？设长方体的长、宽、高分别为由题意长方体的体积为多元函数的极值与拉格朗日乘数法且长方体体积一定有最大值,体体积最大.故当的长、宽、高都为6时长方由于V在D内只有一个驻点,21上例的极
8、值问题也可以看成是求三元函数的极值,要受到条件的限制,这便是一个条件极值问题.目标函数约束条件多元函数的极值与拉格朗日乘数法有时条件极值
