(条件极值)多元函数地极值与拉格朗日乘数法.pdf

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1、多元函数的极值与拉格朗日乘数法多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法1多元函数的极值与拉格朗日乘数法一、多元函数的极值和最值1.极大值和极小值的定义一元函数的极值的定义:是在一点附近将函数值比大小.定义设在点P0的某个邻域,fP()fP(),0则称点P0为函数的极大值点.类似可定义极小值点和极小值.2多元函数的极值与拉格朗日乘数法函数的极大值与极小值统称为函数的极值.函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点.注多元函数的极值也是局部的,是与P0的邻域内的值比较.一般来说:极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.有时,极小值可能

2、比极大值还大.3多元函数的极值与拉格朗日乘数法函数存在极值,在简单的情形下是容易判断的.22例函数z3x4y椭圆抛物面在(0,0)点取极小值.(也是最小值).zOyx4多元函数的极值与拉格朗日乘数法2.极值的必要条件定理1(必要条件)设函数zf(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点(x,y)处有极值,则它在该00点的偏导数必然为零:fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0.证不妨设zf(x,y)在点(x0,y0)处有极大值,则对于(x0,y0)的某邻域内任意(x,y)(x0,y0),都有f(x,y)f(x0,y0),故当

3、yy0,xx0时,有f(x,y)f(x,y),000说明一元函数f(x,y0)在xx0处有极大值,必有fx(x0,y0)0;类似地可证fy(x0,y0)0.5多元函数的极值与拉格朗日乘数法推广如果三元函数uf(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)具有偏导数,则它在P(x0,y0,z0)有极值的必要条件为fx(x0,y0,z0)0,fy(x0,y0,z0)0,f(x,y,z)0.z0006多元函数的极值与拉格朗日乘数法3.极值的充分条件定理2(充分条件)设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏

4、导数,又fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0,令fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C,则f(x,y)在点(x,y)处是否取得极值的条件如下:002(1)ACB0时有极值,当A0时有极大值,当A0时有极小值;2(2)ACB0时没有极值;2(3)ACB0时可能有极值,也可能无极值.7多元函数的极值与拉格朗日乘数法求函数zf(x,y)极值的一般步骤:第一步fx(x,y)0解方程组f(x,y)0y求出实数解,得驻点.第二步对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数的值A、B、

5、C.2第三步定出ACB的符号,再判定是否是极值.8多元函数的极值与拉格朗日乘数法例33求函数f(x,y)3axyxy(a0)的极值.2fx3ay3x0解驻点(0,0),(a,a).2fy3ax3y0又fxx6x,fxy3a,fyy6y.22在点(0,0)处,ACB9a0故f(x,y)在(0,0)无极值;在点(a,a)处,ACB227a20且A6a0故在(a,a)有极大值,3f(x,y)即f(a,a)a.9多元函数的极值与拉格朗日乘数法222求由方程xyz2x2y4z10

6、0确定的函数zf(x,y)的极值.解配方法方程可变形为222(x1)(y1)(z2)1622于是z216(x1)(y1)※显然,当x1,y1时,根号中的极大值为4,由※可知,z24为极值.即z6为极大值,z2为极小值.10多元函数的极值与拉格朗日乘数法二、条件极值拉格朗日乘数法无条件极值对自变量除了限制在定义域内外,并无其他条件.条件极值对自变量有附加条件的极值.11多元函数的极值与拉格朗日乘数法例已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？解设长方体的长、宽、高分别为x、y

7、、z,由题意知，周长：xyz18长方体的体积为Vxyz12多元函数的极值与拉格朗日乘数法上例的极值问题也可以看成是求三元函数Vxyz的极值,但x、y、z要受到条件目标函数xyz18的限制,这便是一个条件极值约束条件问题.有时条件极值可通过将约束条件代入目标函数中化为无条件极值.但在一般情形下,这样做是有困难的,甚至是不可能的.下面要介绍解决条件极值问题的一般方法:拉格朗日乘数法13多元函数的极值与拉格朗日乘数法利用隐函数的概念与求导法拉格朗日乘数法:现要寻求目标函数zf(x,y)(1)在约束条件(x,y)0(2)下取得极值的

8、必要条件.如函数(1)在(x0,y0)取得所求的极值,那末首先有(x,y)0(3)00由条件(x,y)0确定y是x的隐函数yy