一道可用拉格朗日乘数法求最值的题

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1、何时可用拉格朗日乘数法求最值？题目：已知，求的最小值．法一：变式：，则有；令，，则有；从而有；再令，，其中确保同时取非负数；则有，；所以即；当时，取最小值，即取最小值；检验：当时，，矛盾；不适合；故此路不通．法二：与法一相同：变式：，则有；令，，则有；从而有，（*）其中有：，；它的图象是圆的一部分；又设；于是有，（**）下面利用数形结合方法求最小值：画出图象如下：方程（*）的图象在第一象限，包括在坐标轴上点；方程（**）是以原点为圆心，向外扩张的圆；当它扩张到与第一个图象有第一个公共点时，恰好在坐标轴上的点，而A为，（B

2、为）；3所以有即；故的最小值是．同时，可知最大值为：．数缺形时少直观，形缺数时难入微．此法数形结合，一目了然．法三：拉格朗日乘数法．（拉格朗日是法国的超一流的数学家，有空时百度一下看其事迹。）首先举例说明一下如何使用新方法．题目：设长4m的绳子围成长为x，宽为y的矩形，矩形最大面积为多少？步骤：1．相关条件：x、y永远满足：，令，即恒成立；2．目标函数：所求的最大式子：；3．构造拉格朗日函数：；4．求偏导数：（代表函数偏求导数，具体求导方法是视为变量，为常数即可）一元函数中，有极值点，在这里，同样满足：，；再联立解出最大

3、的（因为此题有最大值，无最小值，解出的答案即可取，否则需要讨论）解：由题意可得：，；；，；与联立，解得，由于只存在最大值，所以最大面积：．3回到本题中．解：由题可得：，；；，；即有，；此时，与联立，可得：；解得：，舍负，取；所以；结合“法二”，发现求出来的是“最大值”！！！Why？？？道理很简单：多元求导数，最值是在“驻点”处取得，何为“驻点”者，有导数且为零也！可见：用拉格朗日乘数法，所求得的是“驻点”处的最值．由法二的图象可知：最小值是在端点处取得的，而端点处是不可导的，故无法实施拉格朗日乘数法，此意义一定要弄明白，

4、不能乱用方法诶．综合上述，本题解法二，是可能的方法，答案也就明确了．3