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1、1.应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：（1）f(,)x2y2,若xy10;xy（2）f(x,y,z,t)xyzt,若xyztc4（其中x,y,z,t,0,c0）；（3）f(x,y,z)xyz，若x2y2z21,xyz0.解(1)设L(x,y,)x2y2(xy1)对L求偏导数,并令它们都等于0,则有Lx2x0,Ly2y0,Lzxy10.解之得xy1,1.由于当x,y时,f.故函数必在唯一稳定点处2111取得极小值,极小值f(,2).22(2)设L(x,y,z,t,)xyzt(xyztc4)且Lx1yzt0,Ly1xzt0
2、,Lz1xyt0,Lt1xyz0,Lxyztc40,解方程组得xyztc.由于当n个正数的积一定时,其和必有最小值,故f一定存在唯一稳定点(c,c,c,c)取得最小值也是极小值,所以极小值f(c,c,c,c)=4c.(3)设L(x,y,z,,u)xyz(x2y2z21)u(xyz),并令Lxyz2xu0,Lyxz2yu0,Lzxy2zu0,Lx2y2z210,Luxyz0,解方程组得x,y,z的六组值为:12111x1xxxxx6666661121,y22y,y,y,yy.66666621121z1zzzzz666666又f(
3、x,y,z)xyz在有界闭集{(x,y,z)
4、x2y2z21,xyz0}上连续,故有最值.因此,极小值为f(1,1,2)f(2,1,1)31,6666666极大值为f(1,1,2)f(2,1,1)31.66666662.(1)求表面积一定而体积最大的长方体；（2）求体积一定而表面积最小的长方体。解：（1）设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，表面积为a2(a0)，则体积为f(x,y,z)xyz，限制条件为2(xyyzxz)a2。设L(x,y,z,)xyz[2(xyyzxz)a2]Lxyz2(yz)0,并令Lyxz2(xz)0,
5、Lzxy2(xy)0,L2(xyyzxz)a20,解得xyza。6因此求长方体体积有最大值，且稳定点只有一个，所以最大值故表面积一定而体积最大的长方体是正立方体.f(a,a,a)a3。66666（2）设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，体积为V,则表面积f(x,y,z)2(xyyzxz),限制条件:xyzV.设L(x,y,z,)2(xyyzxz)(xyzV)Lx2(yz)yz0,并令Ly2(xz)xz0,解得xyz3VLz2(xy)xy0,LxyzV0,故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体.3.求空间一点(x0,y0,
6、z0)到平面AxByCzD0的最短距离.解:由题意,相当于求f(x,y,z)d2(xx0)2(yy0)2(zz0)2在条件AxByCzD0下的最小值问题.由几何学知,空间定点到平面的最短距离存在.设L(x,y,z,)f(x,y,z)(AxByCzD)且Lx2(xx0)A0,(1)Ly2(yy0)B0,(2)Lz2(zz0)C0,(3)LAxByCzD0,(4)由(1),(2),(3)得xx0A,yy0B,zz0C.222代入(4)解得2(Ax0By0Cz0D).A2B2C2所以(xx0)2(yy0)2(zz0)212(A2B2
7、C2)Ax0By0Cz0D4A2B2C2故dAx0By0Cz0DA2B2C2为所求最短距离.4.:在n个正数的和为定值条件x1x2xna下,这n个正数的乘积x1x2xn的证明最大值为an.并由此结果推出n个正数的几何中值不大于算术中值nnnx1x2xnx1x2nxn.证:设f(x1,x2,xn)x1x2xn,L(x1,x2,xn,)f(x1,x2,xn)(x1x2xna),(x1,x2,,xn0),Lx1x1x2xnx10,Lx2x1x2xnx20,a解得x1x2xnLxnx1x2xnxn0,nLx1x2xna0,(4)由题意
8、知,最大值在唯一稳定点取得.f(a,a,,a)n所以f最大an.nnnn故nx1x2xnnanax1x2xnnnnn因此nx1x2xnx1x2xn.n5.设a1,a2,an为已知的n个正数，求nf(x1,x2,xn)akxkk1在限制条件x2x2x2112n下的最大值。n解先求f在条件xi2a2(0a1)下的条件最大值。为此，设i1nnxk2a2)(0a1)L(x1,x2,xn,)akxk(k1k1Lxkak2xk0(k1,2,,n)令Lnxka20，k1解得n1xkaka/(ak)2)(k1,2,,n),k11n1(ak2)
9、2.2ak1此时，有nn1akxka(ak2)2.k1k1nn1n于是，f在条件xk2a2下的最大值为a(ak2)2.故f在条件xk21下的最大值为k1k1k1supn1n1ak2)2ak2)2.((0a1k1k1（注此题也可用柯西不等式，方法更简。）6．求函数f(x1,x2
