拉格朗日乘数法

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1、1.应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：（1）若（2）若（其中）；（3），若.解(1)设对L求偏导数,并令它们都等于0,则有解之得由于当时,.故函数必在唯一稳定点处取得极小值,极小值(2)设且解方程组得由于当n个正数的积一定时,其和必有最小值,故f一定存在唯一稳定点(c,c,c,c)取得最小值也是极小值,所以极小值f(c,c,c,c)=4c.(3)设,并令解方程组得的六组值为:,,,,.又在有界闭集上连续,故有最值.因此,极小值为极大值为2.(1)求表面积一定而体积最大的长方体；（2）求体积一定而表面积最小的

2、长方体。解：（1）设长方体的长、宽、高分别为，表面积为，则体积为，限制条件为。设并令解得。因此求长方体体积有最大值，且稳定点只有一个，所以最大值。故表面积一定而体积最大的长方体是正立方体.（2）设长方体的长、宽、高分别为，体积为,则表面积,限制条件:.设并令解得故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体.3.求空间一点到平面的最短距离.解:由题意,相当于求在条件下的最小值问题.由几何学知,空间定点到平面的最短距离存在.设且由(1),(2),(3)得,,.代入(4)解得.所以故为所求最短距离.4.证明:在个正数的和为定

3、值条件下,这个正数的乘积的最大值为.并由此结果推出个正数的几何中值不大于算术中值.证:设,,,解得由题意知,最大值在唯一稳定点取得.所以.故因此.5.设为已知的个正数，求在限制条件下的最大值。解先求在条件下的条件最大值。为此，设令，解得此时，有于是，在条件下的最大值为故在条件下的最大值为（注此题也可用柯西不等式，方法更简。）6．求函数在条件下的最小值。解设令解得依题意，相当于求维空间中原点到超平面的最短距离。由几何知，最短距离存在，而稳定点只有一个，故一定在唯一稳定点处取得最小值，故