数学实验教程_实验17(拉格朗日乘数法)

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1、实验17拉格朗日乘数法-99-实验17拉格朗日乘数法实验目的通过二维情形Lagrange乘数法的几何观察，帮助学生理解Lagrange乘数法，并掌握利用数学软件求解带等式约束条件的极值问题。预备知识条件极值、Lagrange乘子法实验内容Lagrange乘数法是解有约束最优化问题的一种方法。问题的形式为：最大化（或最小化）；约束条件。【步骤】：为了具体，我们考察如下问题：最大化（或最小化）；约束条件。【Step1】：画出约束曲线和的一些等值线，观察可能的最优值：图17-1等值线与可行域图从图中观察，要得到最优值，需要寻找约束曲线和等值曲线相切时的等值曲线值和它们的交点。

2、【程序】：Mathematica程序constrainpic=Plot[{Sqrt[1-x^2],-Sqrt[1-x^2]},{x,-1,1},AspectRatio®实验17拉格朗日乘数法-99-Automatic,Axes®True,PlotStyle®{{Thickness[0.01],RGBColor[0,0,1]}}];f[x_,y_]:=y-x^2;fpic=ContourPlot[f[x,y],{x,-1.4,1.4},{y,-1.4,1.4},ContourShading®False];Show[{constrainpic,fpic}]【Step2】：寻

3、找曲线之间相切的点由于的梯度是垂直于约束的（因为是的等值曲线），而且的梯度是垂直于的等值曲线的，因此当两个梯度互为倍数关系时，这两条曲线就相切了。我们要做的就是解关于变量的方程组：我们可以利用Mathematica来解这个方程组。【程序】：Mathematica程序g[x_,y_]:=x^2+y^2-1;gradf[x_,y_]={D[f[x,y],x],D[f[x,y],y]};gradg[x_,y_]={D[g[x,y],x],D[g[x,y],y]};Solve[{gradf[x,y]lamdagradg[x,y],g[x,y]==0},{x,y,lamda}]注

4、：并不是所有的这种方程都可由Solve求解，可以使用FindRoot命令求出某点附近的根。FindRoot[{g[x,y]0,gradf[x,y][[1]]lambdagradg[x,y][[1]],gradf[x,y][[2]]lambdagradg[x,y][[2]]},{x,1},{y,-0.6},{lambda,0.8}]{x®0.866025,y®-0.5,lambda®-1.}【Step3】：确定最大值或者最小值。实验17拉格朗日乘数法-99-f[-Sqrt[3]/2,-1/2]f[Sqrt[3]/2,-1/2]f[0,-1]-1f[0,1]1最小值为：，最

5、大值为：1。实验练习求位于椭球面上的最大值和最小值，并对得到的结果作出几何解释。