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1、函数型不等式的恒成立问题在近年的高考中频频“闪亮登场”，常以压轴题的身份出现，能有效地甄别考生的思维品质，成为高考的热点和难点.如2005年天津卷21，辽宁卷22等.由于这类问题综合性强，难度大，能力要求高，很多同学望而生畏，无从下笔.本文通过一些典型例题探究在高考中常见的八种类型，仅供参考. 1.“a≥f(x)”型 形如“a≥f(x)”或“a≤f(x)”型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“a≥f(x)在x∈D上恒成立，则a≥[f(x)]max(x∈D)；a≤f(x)在x∈D上恒成立，则a≤[f(x)]min(x∈
2、D)”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型. 例1已知二次函数f(x)=ax2+x，若x∈[0,1]时，恒有
3、f(x)
4、≤1，求实数a的取值范围. 解∵
5、f(x)
6、≤1， ∴-1≤ax2+x≤1， 即-1-x≤ax2≤1-x. 当x=0时，不等式-1≤a×0≤1显然成立， ∴a∈R. 当0＜x≤1时，由-1-x≤ax2≤1-x得 . ∵，， ∴a≤0. 又∵， ， ∴a≥-2.∴-2≤a≤0. 综上得a的范围是a∈[-2,0]. 2.“f(x1)≤f(x)≤f(x2)”型 例2已知函数，若对任意x
7、∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则
8、x1-x2
9、的最小值为____. 解∵对任意x∈R，不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立， ∴f(x1)，f(x2)分别是f(x)的最小值和最大值. 对于函数y=sinx，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π，即半个周期. 又函数的周期为4， ∴
10、x1-x2
11、的最小值为2. 3.“”型 例3(2005湖北)在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cosx这四个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使恒成立的函数的个数是( ) A.0 B.1
12、 C.2 D.3 解本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件的函数，应是凸函数的性质，画草图即知y=log2x符合题意. 4.“＞0”型 例4已知函数f(x)定义域为[-1,1]，f(1)=1，若m，n∈[-1,1]，m+n≠0时，都有，若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围. 解任取-1≤x1＜x2≤1， 则. 由已知＞0， 又x1-x2＜0， ∴f(x1)-f(x2)＜0， 即f(x)在[-1,1]上为增函数. ∵f(1)=1， ∴x∈[-1,1
13、]，恒有f(x)≤1. ∴要使f(x)≤t2-2at+1对所有x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立，即要t2-2at+1≥1恒成立， 故t2-2at≥0恒成立. 令g(a)=t2-2at，只须g(-1)≥0且g(1)≥0， 解得t≤-2或t=0或t≥2. 评注形如不等式“＞0”或“＜0”恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息. 5.“f(x)＜g(x)”型 例5已知f(x)=lg(x+1)，g(x)=lg(2x+t)，若当x∈[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立，求
14、实数t的取值范围. 解f(x)≤g(x)在x∈[0,1]恒成立，即在x∈[0,1]恒成立在[0,1]上的最大值小于或等于零. 令， . ∵x∈[0,1]， ∴F′(x)＜0，即F(x)在[0,1]上单调递减，F(0)是最大值. ∴f(x)≤F(0)=1-t≤0，即t≥1. 6.“f(x1)＜g(x2)”型 例6已知函数，若对任意x1，x2∈[-2,2]，都有f(x1)＜g(x2)，求c的范围. 解因为对任意的x1，x2∈[-2,2]，都有f(x1)＜g(x2)成立， ∴[f(x)]max＜[g(x)]min. ∵f
15、′(x)=x2-2x-3，令f′(x)＞0得x＞3或x＜-1；f′(x)＜0得-1＜x＜3. ∴f(x)在[-2,-1]为增函数，在[-1,2]为减函数. ∵f(-1)=3，f(2)=-6， ∴[f(x)]max=3.∴. ∴c＜-24. 7.“
16、f(x1)＜f(x2)
17、＜t(t为常数)”型 例7已知函数f(x)=-x4+2x3，则对任意t1，t2∈[-,2](t1＜t2)都有
18、f(x1)-f(x2)
19、≤____恒成立，当且仅当t1=____，t2=____时取等号. 解因为
20、f(x1)-f(x2)
21、≤
22、[f(x)]max
23、-[f(x)]min
24、恒成立， 由，x∈[-,2]， 易求得， . ∴
25、f(x1)-f(x2)
26、≤2. 例8已知函数y=f(x)满足：(1)定义域为[-1,1]；(2)方程f(x)=0至少有两个实
