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1、八类函数型不等式恒成立问题的探究函数熨不等式的恒成立问题在近年的高考屮频频“闪亮登场”，常以压轴题的身份岀现，能有效地甄别考生的思维品质，成为高考的热点和难点•如2005年天津卷21,辽宁港22等.由于这类问题综合性强，难度大，能力要求高，很多同学望而生畏，无从下笔.本文通过一些典型例题探究在高考屮常见的八种类型，仅供参考.1.“aMf(x)”型形如“eiMf(x)”或“aWf(x)”型不等式，是恒成立问题屮最基木的类型，它的理论基础是“a2f(x)在xWD上恒成立，贝ija2[f(x)]加x(xWD)；aWf(x)在xWD上恒成立,贝!
2、aW[f(x)hn(xGD)”•
3、许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.例1已知二次函数f(x)=ax2+x,若xe[0,1]时,恒有
4、f(x)
5、W1,求实数a的取值范围.解・・Tf(x)
6、Wl,「•TWax*+xWl,即T-xWax'Wl-x.当x=0时，不等式-IWaXOW1显然成立，AaeR.当OVxWl时,由T-xWaxVl-x得x2xx2xAa^-2.・•・—2WaW0.综上得&的范围是ae[-2,0].1.“f(x】)Wf(x)Wf(&)”型f(x)=2sin(—+^)例2已知函数25,若对任意xeR,都有f(xjWf(x)Wf(X2)成立，则
7、xi-X2〔的最小值为.解•.•对任意xW
8、R,不等式f(xi)Wf(x)Wf(X2)恒成立,・・・f(xj,f(x»分别是f(x)的最小值和最大值.对于函数y=sinx，取得故大值和故小值的两点Z间最小距离是n,即半个周期.f(x)=2sin(—+勺又函数25的周期为4,血如的最小值为2.f(xi+x2>f(xi)+f(x2)2.“22”型例3(2005湖北)在y=2x,y=log2x,y=x2,y=cosx这四个函数中,当0f(x»+f(x2)使22恒成立的函数的个数是()A.OB.1C.2D.3才1+X2>f(xi)+f(x2)解木题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件22的函数，
9、应是凸函数的性质，画草图即知y=log2X符合题意.fg-g)3.“X1-x2>o”型例4已知函数f(x)定义域为[-1,1],f(l)=l,若m,ne[-l,1],m+n^0时,都有f(m)_f(Q>o,若f(x)^tz-2at+l对所有xE[-l,1],aE[-l,1]恒成立，求实数t的取值范围.解任取TWxiVxzWl,f(xi)-f(x2)=f"l)-f(x2)(x1_x2)则xi-Hf(xi)-f(x2)由已知xi72>0,又Xi-x2<0,/.f(Xi)-f(x2)<0,即F(x)在[-1,1]±为增函数.Vf(l)=l,.*.xE[-1,1],恒有f(x)W
10、l.要使f(x)^t?-2at+l对所有xG[-1,1],aW[T,1]恒成立,即要t2-2at+l^l恒成立，故t0恒成立.令g(a)=t2-2at,只须g(-l)NO且g(l)N0,解得tW-2或t=0或t32.f(xi)-f(x2)f(xi)-f(x2)评注形如不等式“X1-X2>0”或“xi-X2<0”恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.1.“f(x)Vg(x)”型£例5已知f(x)=2]g(x+l),g(x)=lg(2x+t),若当x£[0,1]时，f(x)Wg(x)恒成立,求实数t.的取值范
11、韦
12、.解f(
13、x)Wg(x)在x£[0,1]恒成立,即7x+l-2x-t^0在xU[0,1]恒成立«^7T-2x-t在[0,1]上的最大值小于或等于零.令F(x)=Jx+1-2x_t2Jx+12Jx+1Vxe[o,1],・・F(x)VO,即F(x)在[0,1]上单调递减,F(0)是最大值.・・・f(x)WF(0)=l-tW0,即t$l・1.“f(x】)Vg(X2)”型f(x)=Lx3-x2-3x+-,g(x)=-^^例6己知函数33'2,若对任意xi,x2E[-2,2],都有f(xJVg(X2),求c的范围.解因为对任意的Xi,x2G[-2,2]，都有f(xi)14、f(x)]Mx<[g(x)]min・Vf,(x)=x-2x-3,令f'(x)>0得x>3或xV-l；f‘(x)<0得-l15、f(xJVf(X2)
16、Vt(t为常数)”型£例7已知函数f(x)=-x,+2x则对任意ti,t2丘[一2,2](ti17、f(xi)-f(x2)
18、W恒成立，当且仅当tL—,t2二—时取等号.解因为f(Xi)-f(X2)WI[f(X)]皿-[f(x)hi
