函数与不等式中的恒成立问题的探究.doc

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1、函数与不等式中的恒成立问题的探究陈冬梅在高三复习中经常遇到不等式恒成立问题。恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。函数与不等式中的恒成立问题，一般综合性强，可考查函数、数列、不等式及导数等诸多方面的知识。同时，培养学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。不等式恒成立问题有哪几种处理方式？下面结合例题浅谈恒成立问题的常见解法及恒成立问题的基本类型：一、化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。类型1：设，（1）上恒成立；（2）上恒成立。例:若

2、不等式的解集是R，求a的范围。解析：二次项系数为1>0,所以只要即可。例：若不等式的解集是R，求a的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数a，所以要讨论a-1是否是0。（1）当a-1=0时，不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）时，只需，所以，类型2：设（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立例：若不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。解析：设f(x)=x2-2mx+2m+1。不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0x1的所有实数x都成立函数f(x)在0x1上的最小值大

3、于0。而f(x)的对称轴为x=m,原问题又化归为二次函数的动轴定区间的分类讨论问题。(1)当m<0时，f(x)在[0,1]上是增函数，因此f(0)是最小值，解得1时，f(x)在[0,1]上是减函数，因此f(1)是最小值解得m>1综合(1)(2)(3)得注：此型题目还可以用参数分离法。二、反客为主法（转换主元法）用一次函数的性质：对于一次函数有：例1：若不等式x2+px>4x+p-3对满足0≤p≤4的所有x都成立，求x的范围。解析：观察所给的字母范围，当给定的是参数范围时，我们可以用改变主元的办法，将

4、p视为主变元，即将原不等式化为：(x-1)p+x2-4x+3>0，令，则当0≤p≤4时，有恒成立，所以只需即，所以x的范围是x<-1或x>3。三、参数分离法（利用函数的最值（或值域））；。在题目中分离出参数，化成a>f(x)（afmax(x)（a

5、3x2+2x+t∵f(x)在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上有0即-3x2+2x+t≥0在x(-1，1)上恒成立t≥3x2-2x设g(x)=3x2-2x∴tg(-1)，即t5四：数型结合法。对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x)min>g(x)max例：如果对任意实数x，不等式恒成立，则实数k的取值范围是解析：画出y1=,y2=kx的图像，由图可看出0k1K=1由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等

6、处）开始形成的在解综合性较强的恒成立问题时，关键抓住恒成立的实质，以题为本,有时一题多法，，具体问题具体分析，不拘泥于一种方法。