函数中的恒成立问题.doc

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1、函数中的恒成立问题江苏省江安高级中学数学组执教人:明建军【教学目标】：1.了解函数中恒成立问题常见的几种题型。2.理解并掌握函数恒成立问题的解题策略。活动一：自主探究(1)∀x时，恒成立，求a的取值范围。(2)∀x时，，求a的取值范围。(3)∀x时，不等式(x-1)2

2、都有恒成立，求实数的取值范围.订正区域：例3．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x(a，b∈R)，在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有

3、f(x1)－f(x2)

4、≤c，求实数c的最小值．订正区域：活动三：课堂检测：1.函数f(x)是奇函数，且在[－1，1]是单调增函数，又f(－1)=－1,则满足f(x)≤t2+2t+1对所有的x∈[－1,1]]都成立的t的范围是________.2.已知，当时，恒成立，则实数的取值范围．3.已知,若对一切的恒成立，

5、则实数a的取值范围为．活动四课堂小结：1.恒成立问题常用的解题策略有哪些？2.常见的恒成立问题有哪些题型，各自如何转化？1．在代数综合问题中常遇到恒成立问题．恒成立问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解．2．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：(1)∀x∈D，f(x)>C；(2)∀x∈D，f(x)>g(x)；(3)∀x1，x2∈D，

6、f(x1)－f(x2)

7、≤C；(4)∀x1，x2

8、∈D，

9、f(x1)－f(x2)

10、≤a

11、x1－x2

12、.3．不等式恒成立问题的处理方法(1)转换求函数的最值①若不等式Af(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上B>f(x)max⇔f(x)的上界小于B.(2)分离参数法①将参数与变量分离，即化为g(λ)≥f(x)(或g(λ)≤f(x))恒成立的形式；②求f(x)在x∈D上的最大(或最小)值；③解不等式g(λ)≥f(x)max(或g(λ)≤f(x)min)，得λ的取值范围．(3)转换成函数图象问题①若不

13、等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y＝f(x)和图象在函数y＝g(x)图象上方；②若不等式f(x)C例1：已知不等式对恒成立，求实数的取值范围．分析：思路1、通过化归最值，直接求函数的最小值解决，即。思路

14、2、通过分离变量，转化到解决，即。思路3、通过数形结合，化归到作图解决，即图像在的上方．变式：已知不等式对恒成立，求实数x的取值范围．【小结：】解决恒成立问题的实质是合理转化到函数，通过函数性质（最值）或图像进行求解．活动三：∀x∈D，f(x)>g(x)例2：已知函数，，其中，．对任意，都有恒成立，求实数的取值范围解：由成立，只需满足的最小值大于即可．对求导，，故在是增函数，，所以的取值范围是．活动四：∀x1，x2∈D，例3：已知函数，，其中，．对任意，都有恒成立，求实数的取值范围解：活动四：∀x1，x2∈D，

15、f(x1)－f(x2)

16、≤C例4：已知

17、函数f(x)＝ax3＋bx2－3x(a，b∈R)，在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有

18、f(x1)－f(x2)

19、≤c，求实数c的最小值．【解答】(1)∵f′(x)＝3ax2＋2bx－3，根据题意，得即解得∴f(x)＝x3－3x.(2)令f′(x)＝3x2－3＝0，即3x2－3＝0，解得x＝±1，x－2(－2，－1)－1(－1,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋f(x)－2↗极大值↘极小值↗2∵f(－1)＝2，f(1)＝－2，∴当x∈[－2

20、,2]时，f(x)max＝2，f(x)min＝－2.则对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x1，x2，都