函数与导数中的恒成立问题.doc

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1、函数与导数中的恒成立问题（一）最值法1．若函数，若对所有的都有成立，求实数a的取值范围.解：单增①当，。②当不成立综上所述另解：。，则。，，。1.1设函数其中为常数，(1)当时，求的最小值；(2)若，恒有成立，求实数的取值集合；（3）设常数、且，点、在函数的图像上，直线的斜率为.问：是否存在，使成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.22/22解（1）当时，列表如下1—0+1（4分）（2）列表如下：—0+由题意，，（6分），由（1），当，，（8分）又由①知当且仅当时，，的取值的集合为（10分）（3），而，由得（13分），由

2、（1）知当且时，从而（15分）为所求（16分）（二）分离参数法2．(2012·南通高中联考)设函数f(x)＝ax，，且f(x)≤1＋sinx，则a的取值范围________．解析：因为f(x)≤1＋sinx⇔ax≤1＋sinx.当x＝0时，0≤1＋sin0＝1恒成立．当0

3、]时，g′(x)<0，故g(x)在区间(0，π]上单调递减．所以[g(x)]min＝g(π)＝.故a≤.答案：2.1关于x的不等式x2＋9＋

4、x2－3x

5、≥kx在[1,5]上恒成立，则实数k的范围为________．解析：两边同除以x，则k≤x＋＋

6、x－3

7、，x＋≥6，

8、x－3

9、≥0，当且仅当x＝3，两等式同时取得等号，所以x＝3时，右边取最小值6.所以k≤6.答案：(－∞，6]2.2设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．解析：若x＝0，则不论a取何

10、值，f(x)＝1≥0显然成立；当x>0即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－，设g(x)＝－，则g′(x)＝，g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4；当x<0即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，g′(x)＝>0，g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4.[来源:学.科.网]综上a＝4.答案：42.3(2012·盐城中学期中)已知函数f(x)＝x2－alnx，g(x)＝bx－＋2，其中a，b∈R且ab

11、＝2.函数f(x)在上是减函数，函数g(x)在上是增函数．22/22(1)求函数f(x)，g(x)的表达式；(2)若不等式f(x)≥mg(x)对x∈恒成立，求实数m的取值范围；(3)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)－x的最小值，并证明当n∈N*，n≥2时f(n)＋g(n)>3.解：(1)f′(x)＝2x－≤0对任意的x∈恒成立，所以a≥2x2.所以a≥2.同理可得b≥1.∵ab＝2，∴a＝2，b＝1.∴f(x)＝x2－2lnx，g(x)＝x－＋2.[来源:学科网ZXXK](2)∵f(1)＝1>0，g＝>0，且函数f(x)在上是减函数，函

12、数g(x)在上是增函数．所以x∈时，f(x)>0，g(x)>0，∴m≤.[来源:学科网ZXXK]由条件得min＝＝＝，∴m≤.(3)h′(x)＝2＋＝(－1)，当x>0时，＋>0，则当x∈(0,1)时，h′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0.故h(x)在x∈(0,1)递减，在x∈(1，＋∞)递增．所以h(x)min＝h(1)＝，即h(x)的最小值为.当n≥2时，h(n)≥h(2)＝7－2ln2－＝3＋(2－ln4)＋(2－)>3，即h(n)>3.所以n∈N*，n≥2时f(n)＋g(n)＝h(n)＋>3＋>3成立．2．4（连云

13、港市2013届高三期末）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元.(1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2+4x+8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y＝x-2lnx+a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数的值．(参考数据：ln2»0.69，ln10»2.3)【解】(1)

14、函数y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函数，满足条件①，……………2分当x=10时,y有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③.………………………4分22/22但当x=3时,