函数导数中的恒成立问题解题技巧

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1、临沂市高三二轮会材料函数导数中的恒成立问题解题技巧函数导数中的恒成立问题解题技巧新课标下的高考越来越重视考查知识的综合应用，恒成立问题涉及方程、不等式、函数性质与图象及它们之间的综合应用，同时渗透换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，考查综合解题能力，尤其是在函数、导数中体现的更为明显，也是历年高考的热点问题,根据本人的体会，恒成立问题主要有以下几种.一、利用函数的性质解决恒成立问题例1已知函数．(1)若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；(2)若函数在区间上不单调，求的取

2、值范围．解：(1)由题意得又，解得，或(2)函数在区间不单调，等价于导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有，即：整理得：，解得所以的取值范围是.【方法点评】利用函数的性质解决恒成立问题，主要是函数单调性的应用，函数在给定的区间上不单调意味着导函数在给定的区间上有零点，利用函数零点的存在性定理即可解决问题.二、利用数形结合思想解决恒成立问题例2已知是函数的一个极值点．（1）求；（2）求函数的单调区间；（3）若直线与函数的图象有个交点，求的取值范围．【

3、方法指导】（1）在极值点处导数为零，可以求的值；（2）求函数的单调区间借助可以求出单调递增区间，可以求出单调递减区间；（3）根据函数的单调性可以求出其极大值和极小值，画出图象，数形结合可以求出的取值范围.解：（1）因为，所以，因此．（2）由（1）知，，当时，；当时，．所以的单调增区间是，的单调减区间是．（3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，所以的极大值为，极小值为因此所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当因此，的取值范围为．【方法点评】数形结合是高中数

4、学中常考的思想方法之一，在有关取值范围问题、单调性问题、最值问题中体现较明显，同时方程的根及函数零点也可转化为交点问题解决.三、分离参数解决恒成立问题例3已知函数，(1)当时，判断在定义域上的单调性；(2)若在上恒成立，求的取值范围．【方法指导】（1）通过判断导数的符号解决；（2）由于参数是“孤立”的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决．解：(1)由题意：的定义域为，且．，故在上是单调递增函数．(2)令，在上是减函数，，即，在上也是减函数，．令得，∴当在恒成立时，的取值范围是．【方法点

5、评】分离参数是恒成立问题中的一种重要解题方法，分离参数后，构造新函数，求新函数的最值即可解决恒成立问题中的参数取值范围.四、利用两个函数的最值解决恒成立问题例4[2014·新课标全国卷Ⅰ]设函数f(x)＝aexlnx＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)>1.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aexlnx＋ex－ex－1＋ex－1.由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e，故a＝1，b＝2.(2)证明：由

6、(1)知，f(x)＝exlnx＋ex－1，从而f(x)>1等价于xlnx>xe－x－.设函数g(x)＝xlnx，则g′(x)＝1＋lnx，所以当x∈时，g′(x)<0；当x∈时，g′(x)>0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为＝－.设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的

7、最大值为h(1)＝－.因为gmin(x)＝＝h(1)＝hmax(x)，所以当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.五、不等式中的恒成立问题例5(2016•山东)已知.(1)讨论的单调性；(2)当时，证明对于任意的恒成立．解：(1)的定义域为，当时，若，则单调递增，若，则单调递减．当时，.(i)当时，.当或时，单调递增．当时，单调递减．(ii)当时，，在区间内，单调递增．(iii)当时，.当或时，单调递增，当时，单调递减．综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调

8、递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)证明：由(1)知，当时，，设，则．由，可得，当且仅当时取得等号．又.设，则在上单调递减．因为，所以，使得当时，，时，.所以h(x)在上单调递增，在上单调递减．由，可得，当且仅当时取得等号．所以，即对于任意的成立．六、利用恒成立问题求参数的取值范围例6(2015·北京)已知函数。(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求证：当时，；(3)设实数k使得对恒