导数与恒成立问题

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1、《导数与恒成立问题》教学设计南宁二中黄邵华教学背景分析：《导数》是高中数学教学中非常重要的一个章节，在每年的高考当中也几乎是必考题，而恒成立问题则是导数大题中常见的一种类型.在前段时间的学习中，学生已经学习和掌握了导数的定义及其基木应用(如求切线，求单调区间，求极值和最值等)，故在此段内容的学＞J后，应当注重知识的深化和综合.恒成立问题是导数的综合应用屮的常见问题，并且与刚刚结束的导数的基本应用的相关知识结合较为紧密，故特选此题作为一个专题进行教学.高二(25)班的学生是我校高二年级的一个普通班，此班学生头脑灵活，反应比较灵敏，但学生性格普遍沉闷，虽然

2、大脑在积极思考，但在课上不善于表达.因此在教学方式上以教师问题为引导，通过由简到难的变式训练，让学生自主学习和发现解决恒成立问题的常用办法.教学目标：知识与技能：掌握利用导数解决恒成立问题的方法；过程与方法：通过多次变式训练的过程，体会将复杂问题化为简单问题，将陌生问题化为熟悉问题的转化数学思想，体会导数的工具性作用；情感态度与价值观：通过对相关数学问题的思考和分析，感受事物是普通联系的辩证主义思想，发现数学之美，培养数学钻研精神.教学重点：1、将恒成立问题转化为最值问题2、分离变量法求解含参的恒成立问题款爹％点：如何将i他问题转化为恒成立问题教学过程

3、：环节一、复习引入复习导数的基木应用：求切线方程、求极值、求单调区间以及求函数的最值.通过一个网络图呈现：求函数最仉教师提出：这些是利用导数可以解决的几类问题，但是很多问题并不是导数的简单应用，而是将这些导数的应用综合起来解决一个较为复杂的问题，这样复杂的问题很多，但基木都可以转化为这几种简单的问题，今天我们介绍其中的一类问题：恒成立问题.环节二、新课讲授例(2010年安徽高考理科17题改编)：已知函数/若/(X》匕0恒成立，求实数g的取值范围.解析：◊法1:由/什》2=0恒成立可得，的最小值应该大于等于0.fx)=ex-29令=2=0可得，x=ln

4、2.当x0,/U)单调递增；S^/W„un=/(ln2)=2-21n2+2a>0,解得mn2-l.◊法2(分离变量法)：/(x)=ex-2x+2a>0^>ci>x-—ex恒成立，令茗⑶=又-去!S!lWa>g(x)max,gx)=1=0x=In2,当又

5、eA〉0，gU)单调递增；当x〉In2时，gx)=i-^ex

6、恒成立<=>r/(A01max“恒成立<=>[/(x)D“变式一：已知函数,若在上单调递增，求实数各的取值范围.解析：由尸⑻在仏十巧上单调递增，可得/调匕0在【2,十巧上恒成立，即：尸⑻=#-2&之0在上恒成立，易得：=/*(2)=e2-2/7>0=>/70且x£:0时，有#2又2-2似+1.证明：设公⑺=

7、oo)上恒成立.gf(x)=ex-2x+2a,由例题结论可得当“〉0〉In2-1日寸，g'(x)=ex-2x+2a>0,因此gCr)在［0，+oo)上单调递增，所以g(x)>g(x)恒成立》/(x)-g(%)>0恒成立；/(x)

8、b:2，则g(x)S0在［0，+oo)恒成立，g’(x)=12kx=—―—―，令g’(x)=0，角军得又=0或％=-―.x+1x+12k11-?k若U土，则一-<0,则g’(X)S0在［0，+oo)恒成立，g⑺在［0，+oo)单调递减,22k因此t?(x)max=WO)=O,g(x)<0符合题意；11-?k1-2k1-Ok若00,则xe

9、0,1时，Cx)20,Wx)在

10、0,一单调递增，22k2k2k因此g(x)max>g(0)=0,不符合题意.综上所述，O丄，即々的最小值为丄.22教师通过程序框图将此题的解题步骤进行分析，并强调：1

11、、新课标理念“适当的模式化”对解题的帮助；2、解题时缕清思路，不断地分析题目所给的问题和条件，