函数恒成立问题的答案

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1、函数恒成立的问题类型1：利用一次函数的单调性对于一次函数有：例1．若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。解：原不等式化为(x2－1)m－(2x－1)<0记f(m)=(x2－1)m－(2x－1)(－2m2)根据题意有：即：解之：得x的取值范围为类型2：利用一元二次函数的判别式设，⑴上恒成立；⑵上恒成立。例2：在R上定义运算：xy＝(1－y)若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意实数x成立，则()(A)－10对xR恒成立记f(x)=x2-x-a2+a+1则应

2、满足(-1)2-4(-a2+a+1)<0化简得4a2-4a-3<0解得,故选择C。例3：若不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。解：设f(x)=x2-2mx+2m+1本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范围。(1)当m<0时，f(x)在[0,1]上是增函数，因此f(0)是最小值，解得1时，f(x)在[0,1]上是减函数，因此f(1)是最小值解得m>1综合(1)(2)(3)得例4．若不等式的解集是R，求m的范围。解析：要想应用上面的结论，

3、就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）时，只需，所以，。注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解。类型3：利用函数的最值（或值域）⑴⑵。简单记作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例5在ABC中，已知恒成立，求实数的范围。解析由，，恒成立，，即恒成立，例4：求使不等式恒成立的实数a的范围。解析：（1）由于函，显然函数有最大值，。如果把上题稍微改一

4、点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式恒成立的实数a的范围。解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得的最大值取不到，即a取也满足条件，所以。所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。类型4：数形结合法:对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解例5.已知，求实数a的取值范围。解析：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图

5、象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。例6.若当P为圆上任意一点时，不等式恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.解析：由，可以看作是点P(m,n)在直线的右侧，而点P(m,n)在圆上，实质相当于是在直线的右侧并与它相离或相切。，故选D。例7：如果对任意实数x，不等式恒成立，则实数k的取值范围是解析：画出y1=,y2=kx的图像，由图可看出0k1例8：已知a>0且a1,当x(-1，1)时，不等式x2-ax<恒成立，则a的取值范围解析：不等式x2-ax<可化为ax>x2-画出y1=ax,y2=x2-的

6、图像。由图可看出a<1或1f(x)（afmax(x)（a

7、｛an｝的通项公式为an＝[3n+(-1)n-1·2n]+(-1)n·2n·a0(nN*)若对任意n≥1，nN*，不等式an>an-1恒成立，求a0的取值范围。解：依题意：[3n+(-1)n-1·2n]+(-1)n·2n·a0>[3n-1+(-1)n-2·2n-1]+(-1)n-1·2n-1·a0化简，得(-1)n·3·2n-1·a0>-·3n-1+(-1)n·2n-1(1)当n=2k-1kN*时a0<·()n-1+设g1(n)=·()n-1+∵g1(n)在nN*时且n=2k-1,kN*时是增函数∴g1(n)的最小