不等式中的恒成立问题.doc

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1、不等式中的恒成立问题主讲人王洪英不等式中的恒成立问题能够很好的考察函数、不等式等知识以及转化化归等数学思想，因此备受命题者青睐，而大家在碰到不等式中的恒成立问题时，往感觉无从下手，而且此类问题有时表现比较隐蔽，不易分辨，下面通过实例就不等式中的恒成立问题的常用解法加以剖析。1、函数（或方程）思想【例1】已知│m│＜2时，不等式ｘ2+mｘ+1＞2ｘ+m恒成立，求实数ｘ的取值范围。分析：通过把对应的不等式问题转化为函数问题，构造一次函数求解，结合函数思想，利用已知条件求出ｘ的取值范围。解：原不等式即为(1-ｘ)m-ｘ2+2ｘ-1＜0,在│m│＜2时,即-2＜m＜

2、2恒成立.ƒ(2)≤0ƒ(-2)≤0令ƒ(m)=(1-ｘ)m-ｘ2+2ｘ-1则{2(1-ｘ)-ｘ2+2ｘ-1≤0-2(1-ｘ)-ｘ2+2ｘ-1≤0即{解得ｘ≤-1或ｘ≥3.所以ｘ的取值范围是(-∞,-1］∪[9,∞).点评:本题利用了一次函数的图象,即只要在两点m=-2和m=2处的函数值均小于零即可满足恒成立,巧妙的解出了ｘ的取值范围,解决此类问题转换主元后得到的函数一般是一次函数或易于求解满足条件的函数.1ｘay2.最值思维【例2】已知不等式（ｘ+y）（+）≥9对任意正实数ｘ，y恒成立，则正实数a的最小值为（）1ｘay（A）2（B）4（C）6（D）8分析：

3、如果对（ｘ+y）与（+）分别求最小值，两部分各取最时，要使取“＝”条件相同，必须且只有a＝1，但此时右端的最小值为4，显然不等式不恒成立。因此，要先对左端进行变形，尽量避免两次使用基本不等式求解。yｘaｘy1ｘay解：不等式（ｘ+y）（+）≥9对任意正实数ｘ,y恒成立，则1+a++≥9对任意正实数ｘ,y恒成立，yｘaｘy即[1+a++]maｘ≥9,yｘaｘy而1+a++≥a+2由a+2+1≥9解得a≥2或a≤-4（舍去）。所以正实数a的最小取值为4，故选择答案（B）。点评：本题是一道二元不等式恒成立问题，在解答中要注意利用基本不等式求最值的条件：“一正、二定

4、、三相等”。3.参数分离【例3】已知ｘ∈(-∞,1］时，不等式1+2ｘ+(a-a2)4ｘ＞0恒成立,求实数a的取值范围。分析:直接利用函数最值法求函数y=1+2ｘ+(a-a2)4ｘ(ｘ≤1)的最小值,比较复杂,而把参变元a先分离出来,结合对应的函数情况加以分析,则简便得多.12141214解:由题意可得a2-a＜()ｘ+()ｘ在ｘ∈(-∞,1］恒成立,故a2-a必小于()ｘ+()ｘ的最小值.1214令y=()ｘ+()ｘ,又y在ｘ∈(-∞,1］上是单调递减的,34故当ｘ=1时,y有最小值为,321234故a2-a＜,解得-＜a＜.3212即实数a的取值范围为(

5、-,).点评:将参变元与主变元从恒成立不等式中分离出来,则在求函数最值时可避免繁冗的分类讨论,通过参数分离达到更好地实施函数最值法,求解参数的取值问题.