利用数学原理求函数的最值问题

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1、利用数学原理求函数的最值问题　　在中学数学的教学中，经常遇到求函数最值的问题，所谓最值是指在某区间内的最大值或最小值，即：一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M，①对任意x∈I，f（x）≤M；②存在x0∈I，f（x0）=M，称M为f（x）的最大值，若存在实数N，满足x∈I，f（x）≥N，存在x0，f（x0）=N，则称N为f（x）的最小值.下面谈谈利用数学原理求函数的最值问题.　　一、利用二次函数图像的性质及最值的概念求最值　　例：设f（x）=-x2+4xSinθ，x∈[-1，1]，其中-π/2≤θ≤

2、π/2，求函数f（x）的最值.　　分析：因为函数f（x）=-x2+4xSinθ，自变量x，在[-1，1]范围内，而角θ∈[-π/2，π/2]；x2的系数为-1，因此，f（x）=-x2+4xSinθ为二次函数.其图像为抛物线.又因为x2项系数为-1，小于1，所以f（x）的图像为抛物线且开口向下.所以f（x）在区间[-1，1]内有最大值.　　解：∵f（x）=-x2+4xSinθ　　=-（x-2Sinθ）2+4Sin2θ（x∈R）　　∴f（x）的图像为开口向下的抛物线，顶点坐标（2Sinθ，4Sin2θ）　　∵x∈[-1

3、，1]　　∴当2Sinθ=-1，得θ=-π/6　　当2Sinθ=1，得θ=π/66　　即当θ∈（-π/6，π/6）时，f（x）的最大值是4Sin2θ　　当θ∈[-π/2，-π/6]，因为抛物线开口向下，且抛物线顶点在直线x=-1左侧（或在x=-1上）　　因此，当x=-1时，f（x）达到最大值f（-1）.　　f（-1）=-（-1）2+4（-1）Sinθ　　=-1-4Sinθ　　同理，当θ∈[π/6，π/2]时，f（x）最大值f（1）　　f（1）=-（+1）2+4×1×Sinθ=-1+4Sinθ　　∴根据函数f（x）=

4、-x2+4xSinθ，x∈[-1，1]，-π/2≤θ≤π/2的图像可求f（x）的最大值=　　4Sin■θ，θ∈[-■，■]-1-4Sinθ，θ∈[-■，■]1+4Sinθ，θ∈[■，■]　　二、利用配方法及不等式的意义求最值　　例：已知x、y∈R，求y=x+2+■的最大值和最小值.　　分析：求函数y=x+2+■的最大值和最小值，只要把y=x+2+■配方为：　　y=x+2+■，再把■=■的右边看作在直角三角形Rt△ABC中，斜边■，直角边x+2的关系（如图1），令∠B=θ，Sinθ=■，x+2=■Sinθ，所以y=x

5、+2+■就可以转化三角函数的表达式：y=■Sinθ+■=■Sinθ+■Cosθ=■Sin（θ+■）.最后根据　　Sin（θ+■）的最值和不等式的意义便可求出原函数的最值了.　　解：∵x、y∈R　　y=x+2+■6　　=x+2+■　　=x+2+■　　又∵■、（x+2）可看作Rt△ABC中的斜边及直角边，设∠B=θ　　∴Sinθ=■　　x+2=■Sinθ　　∴y=x+2+■　　=■Sinθ+■　　=■Sinθ+■Cosθ（θ为锐角）　　=■（Sinθ?■+Cosθ?■）　　=■Sin（θ+■）　　∵-■≤θ≤■　　-■

6、≤θ+■≤■　　∴-■≤Sin（θ+■）≤1　　∴-■≤■Sin（θ+■）≤■　　∴-■≤x+2+■≤■　　∴函数y的最大值为■，最小值为-■　　∴y的最大值为■，最小值为-■.　　三、利用（a-b）2≥0，a?b为实数及不等式的意义求最值　　例：如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P、Q分别在边AB、AC上移动，且线段PQ把△ABC分为面积相等的两部分，求线段PQ的长度的最小值.　　分析：由于PQ把△ABC分为面积相等的两个部分，△6APQ和四边形PQCB，由已知：∵S△APQ=S四边形

7、PQCB　　∴■AP?AQ?SinA=■?■BC?AC　　∴AP?AQ?SinA=■BC?AC　　AP?AQ=■BC?AC?■=■×3×4×■=10　　又∵在Rt△ABC中：SinA=■=■=■=■　　CosA=■=■=■=■　　又∵（AP-AQ）2≥0（∵AP?AQ∈R）　　∴AP2+AQ2≥2AP?AQ　　又∵在△APQ中，由　　PQ2=AP2+AQ2-2AP?AQ?CosA≥2AP?AQ-2AP?AQ?CosA　　=2（1-CosA）AP?AQ　　=2（1-■）×10　　=4　　∴PQ≥2　　根据利用最值的意

8、义，可见线段PQ的最小值为2.　　解：略.　　四、利用基本不等式“正数的算术平均值不小于几何平均值”及最值的意义求最值　　例：在半径为R的球内作一内接圆锥，求圆锥的最大体积.　　分析：此题为求圆锥的最大体积，也就是求内接圆锥体积的最大值问题.　　设内接圆锥的高为h，底半径r，体积为V，如图3.6　　则：V=■πr2h　　=■πr2（R+■）　　令r=R?Co