利用几何知识求函数最值

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1、丁长青编1.数形结合法1.1利用数轴上的截距解函数最值截距是指函数与所有坐标轴交点的坐标之差,可取正数也可取负数或0.求形如的函数最值,可以把当作是变量,即令,方程一般表示一条曲线,则可以当作是的直线在纵坐标轴上的截距,因此截距的最值也即是函数的最值.例1已知数满足,求的最值.解令则因为的圆心为,以及它到直线的距离为,所以,可得.于是例2求函数的最值.解令有又因此可看成是直线系和椭圆在第一象限相交直线在轴上的截距（如图所示）,可得11图1例3求函数的最值.解设整理可得.（1）因此,可看出方程（1）表示平面上的一个半圆且它与轴在与处相交.图2进一步原函数可以写成,（2）方

2、程（2）表示平面上斜率为-1的直线系,表示此直线系在u轴上的截距,通过计算可得函数与半圆相切的直线在轴上的最大截距为7,即11而过直线在轴上的最小截距为即1.2利用两点间的距离公式解函数最值两点间的距离公式分为平面和空间两种形式,在平面内设则在空间中,可设则例4求函数的最小值.解如图所示.图3由于,且是点到点的距离之和,关于轴的对称点为,因此.故.11例5已知:如图所示,点分别在棱长为1的正方形的对角线和棱上运动,求两点间的距离的最小值.解根据几何知识中空间相异的两条直线间公垂线最短可知:图4当为公垂线段的两端点时,两点之间的距离是最小的,又因为直线和的公垂线为两者中点

3、的连线.从而,根据图形可知为为因此例6求函数的最小值，并求出此时的值.解将已知函数进行整理可得上式表明是点到点的距离之和（如下图所示），图5要求其最小值，只需在轴上找到一点，使得到,11的之间距离之和达到最小即可.通过进一步的求解,有.并且,可得直线的方程,令,通过求解可得，因此此当时，注1空间两点间的距离是平面两点间距离的推广,其应用广泛,应熟练掌握.1.3构造法1.3.1利用直线的斜率构造根据一些题中给出的代数式可联想到平面几何中两点坐标求直线斜率的公式,设两点所确定的直线斜率为,则例7求函数的最值.解根据题中形式可知,此问题可转化为两点与所确定的直线斜率的最值问题

4、.由于,可知点在以圆心,1为半径的圆周上.（如图所示）图6设经过点的直线方程为11代入有根据可知因此1.3.2利用直线与圆的位置关系构造在一般情况下,直线和圆的位置关系有三种：相交,相离或相切.通过二者之间的位置关系可以求解函数的最值.例8求函数的最值.解令可知且因此,(1),(2)这表明式是与直线平行的一个平行线系.从而,问题转化成为平行线系和圆相交的直线中,在轴上的截距最大和最小者,通过下图可知,经过与的直线在轴上可以取得最小与最大值,将两点分别代入式可得1.3.3利用矩形的特性构造例9已知:,,求的最小值.11解由于,构造边长为的正方形,并将一组邻边中的一条分成部

5、分,长度分别为,另一条为,如下图所示.图7可得,即,根据上式可知,当且仅当时,函数取到最小值.1.3.4利用立方体特性构造例10已知均为锐角且求的最小值.图8解设长方体的长、宽、高分别为,可知11,,,因此(当时取等号).上式表明,当且仅当时,2.向量法在学习向量的过程中由可知,有以下几个结论：1)当与同向时取等号;2),当与平行时等号成立;3)当与平行时等号成立;4)当与反向且时左边不等式取等号,当与同向时右边不等式取等号;5)当与同向且时左边不等式取等号,当与反向时右边不等式取等号.以上这些结论都是用向量不等式求函数最值的依据.例12求函数的最小值.方法1通过上式可

6、联想到两点间的距离公式,然后由三点共线距离最短求出最小值,为此构造三个点.解设,则原问题可转化为在轴上求一点,使的和最小.设点关于轴的对称点为,根据对称性可知11当且仅当三点共线时等号成立.此时.因此,函数的最小值为.方法2函数式的结构呈现出两个向量模的形式,一次构造两个向量,并使它们的和的模恰为定值,为使用向量不等式创造了必要的条件.解设,则由于则当与同向,即时,不等式取等号.从而函数的最小值为注3方法1是通过构造两点间的距离公式,利用几何意义来解决.方法2是利用构造向量,通过向量不等式来解决.两种方法各有千秋,尤其是利用向量不等式的方法,较为新颖、明快.此例说明了通

7、过巧妙的利用向量可以解决某些无理函数的最值问题.例13已知是正实数,是正常数,且求的最大值.解构造向量11,则,因此（*）又所以.(**)同样当且仅当.有（*）（**）联立可得.因此,当例14设,且,如果恒成立,求的最大值.解设,则11根据上式化简得(1)当且仅当,且,同向时,即时,上式等号成立.又已知不等式（1）恒成立所以,即.注4利用向量内积求函数最值的问题，关键是要找到题目的结构特征,并由此构造出两个适当的向量.在构造向量时,应考虑到向量模和内积这三个量,必须有两个向量是确定的量，另一个正好是所要求的函数式,从而直接求出函数的最值.